Der mehrdimensionale Raum. 193 
von « und ß gleich eins, für ungleiche Werte von a und ß gleich 
null ist, ergeben sich die Beziehungen: 
,y — v d ^ OO dtp, (x) 
7 dx 4 dx« 
Aus diesen Gleichungen folgt, dafs man die sämtlichen 
Differentialquotienten durch die darstellen kann, 
dafs sie somit sämtlich einen konstanten Wert haben müssen. 
Setzt man also: 
(4) x« = 2%.cu yi 4~ m«, y« = Ab ca Xi 4~ n«, 
i l 
wo die Gröfsen a«i, bca, m«, n« konstante Werte besitzen, so 
folgen aus den vorstehenden Entwicklungen die Formeln: 
(5) daß = A/ a^ib^t, b«ß = aßa, bau — a««; 
L 
somit ist z. B. 
A ai *a*i = 1, A a^ * a# 2 == 0. 
* * 
Um den Wert der aus den Koeffizienten a«^ gebildeten 
Determinante zu bestimmen, stelle man ihr Quadrat wieder als 
Determinante dar; dadurch erhält man; 
a i i a i a • 
• a ln 
2 
a u 2_ T a i2 2_ h •• • 4~ a i n iai 2 —(— a ! 2a 22 —- -. -Rai u a n2 . .. 
a 2 i a 2 2 • 
• a 2 n 
— 
a 21 a l 1 4“ • • • 4“ a 2 n a nl a 21 2 4~ a 2 2 2 4“ • • • 4~ a 2n 2 • • • 
a nl a n2 • 
. a nn 
a nl a l 1 4- • • • 4- a nn a nl a nl a l 2 4- • • • 4“ a nn a n2 • • • 
Setzt man hierin die Werte aus (5) ein, so erhält jedes Glied 
der Diagonale den Wert eins, und jedes andere Glied den Wert 
null. Somit hat das Quadrat der ursprünglichen Determinante den 
Wert eins, sie selbst den Wert +1 oder —1. Hiernach zer 
fallen die Transformationen des euklidischen Raumes, für die die 
Entfernung je zweier Punkte ungeändert bleibt, in zwei Klassen, 
je nachdem ihre Determinante positiv oder negativ ist; sollen 
Transformationen stetig in einander übergehen, so müssen sie 
zu derselben Klasse gehören. Umgekehrt seien a** und a t *' die 
Koeffizienten von zwei Transformationen, die zu derselben Klasse 
gehören; dann zeigt man, dafs die Koeffizienten a L x stetig in die 
alx übergeführt werden können. Nun hat die zu der identischen 
Transformation 
7i = xi, y 2 = x 2 . .. y n = x n 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 
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