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Dritter Abschnitt. § 8. 
dafs die Gleichungen (7) befriedigt werden. Das (n — 2)-dimen 
sionale Schnittgebilde entspricht in seinen Eigenschaften ganz der 
(n — 1) - dimensionalen Ebene; es soll deshalb als eine Ebene von 
n — 2 Dimensionen bezeichnet werden. 
Wenn U = Ö, U' =0 die Gleichungen zweier (verschiedener) 
Ebenen sind, so gehört jede Ebene mit der Gleichung U kU' = 0 
dem durch die beiden ersten Ebenen bestimmten Büschel an. 
Wird eine dritte Ebene U" = 2c L x< — r = 0 hinzugenommen, 
welche dem durch die beiden ersten Ebenen bestimmten Büschel 
nicht angehört, so hat man zu untersuchen, ob alle Determinanten 
dritten Grades der Matrix 
a t a 2 . 
. a n 
bi b 2 . 
• b n 
Cl c 2 . 
verschwinden oder nicht. Wenn das letztere der Fall ist, so 
haben die Ebenen eine (n — 3) - dimensionale Schnittebene. Ver 
schwinden aber alle jene Determinanten, so haben die drei Ebenen 
keinen Punkt gemeinschaftlich. Dabei mufs der Fall ausgeschlossen 
werden, dafs bereits alle Determinanten zweiten Grades in der 
obigen Matrix verschwinden, weil sonst die drei Ebenen einem 
Büschel angehören. Die Ebenen AU -J- ,uU' -\- *U = 0 können 
daher nicht sämtlich unter einander parallel sein; von den drei 
gegebenen Ebenen müssen also mindestens zwei einander schneiden. 
Nun lassen sich aber immer zwei Faktoren /i und r so be 
stimmen, dafs für jede Marke i die Relation besteht : ,ua* -f- rh t = ci ; 
schneiden sich also die beiden ersten Ebenen, so kann man durch 
das Schnittgebilde eine Ebene legen, die zur dritten Ebene parallel 
ist. Hiernach heifst eine (n — 2)-dimensionale Ebene E n _2 parallel 
zu einer Ebene E n _! von n — 1 Dimensionen, wenn sie mit ihr 
keinen Punkt gemeinschaftlich hat; wir haben gesehen, dafs 
alsdann durch die E n _ 2 eine (n—1)-dimensionale Ebene gelegt 
werden kann, welche zu der E n _i parallel ist. 
Diese Betrachtung läfst sich auf eine gröfsere Zahl von Di 
mensionen übertragen und gestattet, für jede Zahl m<n die 
m-dimensionale Ebene als den Schnitt von n — m Ebenen (von 
n — 1 Dimensionen) zu definieren, wobei nur vorausgesetzt 
werden mufs, dafs die Koeffizienten in den Gleichungen der 
n — m Ebenen nicht besondern Bedingungen genügen. Für m = 1