Der mehrdimensionale Raum. 
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erhält man auf diese Weise die gerade Linie, während n Ebenen 
E n _i im allgemeinen nur einen Punkt gemeinschaftlich haben. 
Man kann aber noch in anderer Weise zur m-dimensionalen 
Ebene und für m = 1 zur Geraden gelangen: die Koordinaten 
von m+1 Punkten seien x', x". . .x( ,n + 1 >; man führe m + 1 
willkürliche Gröfsen Ui, u 2 ... u m+1 ein und betrachte die Ge 
samtheit aller Punkte, deren Koordinaten sich in der Form dar 
stellen lassen: 
x* = 
U t Xx -J- U 2 Xx + . . . + U m +i Xx 
(m+1) 
für x = 1, 2 .. , n. 
U 1 + U2 + • • • -f- U m -|-1 
Der Nachweis, dafs diese Punkte im allgemeinen einer 
m-dimensionalen Ebene angehören, kommt auf Entwicklungen 
hinaus, die bereits im vorigen Paragraphen durchgeführt sind. 
Die Koeffizienten a x , a 2 .. . a„, p in der Gleichung (6) der 
Ebene können wir mit einem beliebigen Faktor multiplizieren. 
Indem wir a^ = c t , a 2 o = c 2 ... a n (> = c n , po = r setzen, läfst 
sich o so bestimmen, dafs die Beziehung besteht: 
(8) Ci 2 —f— c 2 2 —f— - - - —I“ c n 2 = 1. 
Dann läfst sich aber noch das Vorzeichen eines Koeffizienten 
willkürlich wählen; wir setzen daher mit Herrn von Lilienthal 
fest, dafs der erste nicht verschwindende Koeffizient c n , c n _ l5 
. .. c 2 , Ci positiv ist, und wollen sagen, die Gleichung der Ebene 
Ci Xi —j— C2X2 —|— ... —{— c n x n — r = 0 
hätte die Normalform, wenn die Koeffizienten ... c n den auf- 
gestellten Bedingungen genügen. 
Durch die Transformation (4) geht c* über in HcvZvx, also 
V 
Die Be- 
2-Cx 
in 1 CuCv ^ 3,/xx &vx = Cu Cvdfjiv = 2 Cp* = 1. 
(X, v x, l 
ziehung (8) bleibt also bei jeder derartigen Transformation un- 
geändert. 
Jetzt seien die Gleichungen zweier Ebenen in der Normal 
form gegeben: 
Uc x xx — r = 0, 2e*xx — s = 0. 
Durch jede Transformation (4), (5) geht Cx über in 2cv a.vx, 
V 
ex in 2cp a./ux; also bleibt der Ausdruck 
n 
ex 
Hi,., ,,,