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Dritter Abschnitt. § 8. 
ungeändert, und da er höchstens den Wert eins erhält, und zwar 
nur dann, wenn die Ebenen zusammenfallen, so kann man 
(9) 2c x e* = cos (f 
setzen und y als den Winkel der beiden Ebenen definieren. Diese 
Definition stimmt nicht nur für n = 2 und n = 3 mit der ge 
bräuchlichen überein ; sie ist auch geeignet, eine charakteristische 
Eigenschaft des Winkels auf die mehrfach ausgedehnten Mannig 
faltigkeiten zu übertragen. Läfst man nämlich drei Ebenen I, 
II, III durch dieselbe (n — 2)-dimensionale Ebene hindurchgehen, 
so ist der Winkel, den die beiden letzten Ebenen einschliefsen, 
gleich der Differenz der Winkel, die je eine von ihnen mit der 
Ebene I bildet. Um dies möglichst einfach zu beweisen, lasse 
man die Ebene I mit der Ebene X! = 0 zusammenfallen und lege 
die beiden andern Ebenen durch den Schnitt von =0, x 2 =0 
hindurch. 
Speziell werden wir zwei Ebenen als auf einander senkrecht 
stehend bezeichnen, wenn sie einen rechten Winkel mit einander 
bilden, wenn also zwischen ihren Koeffizienten c* und e* die 
Beziehung besteht: 
(9) 2c x ex = 0. 
Aus dieser Form der Bedingungsgleichung folgt unmittelbar 
der Satz: 
Wenn m Ebenen auf derselben (m -f- 1)= Ebene senkrecht 
stehen, so stehen auch alle Ebenen, welche durch das Schnitt 
gebilde der ersten m Ebenen hindurchgehen, auf der letzten Ebene 
senkrecht. 
Demnach läfst sich durch jeden Punkt des Raumes eine 
(n — 2) - fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit von (n — 1) - dimen 
sionalen Ebenen legen, welche auf einer gegebenen Ebene von 
n — 1 Dimensionen senkrecht stehen. Alle diese Ebenen müssen 
eine gerade Linie gemeinschaftlich haben, da sie durch denselben 
Punkt hindurchgehen. Umgekehrt wird jede durch die Gerade 
gelegte (n — 1)-dimensionale Ebene auf der gegebenen Ebene 
senkrecht stehen. In diesem Falle sagen wir, die Gerade selbst 
stehe auf der gegebenen Ebene senkrecht. Durch jeden Punkt 
des Raumes geht eine einzige Gerade, die auf einer festen Ebene 
senkrecht steht. Im allgemeinen kann man aber durch eine 
gerade Linie g nur eine (n — 3) - fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit