Der mehrdimensionale Raum.
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von Ebenen E n _i hindurchlegen, welche mit einer gegebenen
(n — 1)-dimensionalen Ebene I einen rechten Winkel bilden;
denn zu der Bedingung (9), welche bei gegebenen Werten
Ci...c n für die Koeffizienten e!...e n , r bestehen mufs, treten
noch zwei Bedingungen durch die Forderung hinzu, dafs die
Ebenen durch die Gerade g hindurchgehen sollen. Jetzt läfst sich
aber durch die Gerade g eine einzige Ebene E n _f legen, die auf
allen Ebenen E n _ r senkrecht steht. Der Winkel, den die Ebene
En-f mit der Ebene I bildet, wird als Neigungswinkel der Ge
raden g und der Ebene I definiert. Wenn der Neigungswinkel
einer Geraden g zu einer (n — 1) - dimensionalen Ebene I gleich
ist dem Winkel, unter dem eine zweite Gerade h zu einer Ebene II
geneigt ist, so läfst sich durch eine Transformation (4), (5)
erreichen, dafs die Ebene I mit II und zugleich die Gerade g
mit h zusammenfällt.
Eine ganz ähnliche Betrachtung läfst sich für zwei Ebenen
anstellen, von denen die eine n — 1, die andere m<n — 1 Di
mensionen hat.
Wiederum sei die Gleichung einer Ebene I in der Normal
form gegeben; man suche den Fufspunkt x' der Senkrechten, die
von einem nicht in der Ebene gelegenen Punkte £ auf dieselbe
gefällt wird. In den Gleichungen von n — 1 Ebenen mögen die
Konstanten mit (et, s), (e«', s') ... (e* ü>-2) } s ( n ~ 2 )) bezeichnet
werden. Da jede dieser Ebenen durch den Punkt £ geht, müssen
die Gleichungen erfüllt sein:
2e, £t = s, Äf £ t = s' . . . Ifet<“-*>£* = s( n - 2 k
Dieselben Ebenen sollen aber auch den Punkt x' enthalten; daraus
folgt:
JSCiXi' = S, JSfei'Xi' = s' . . . ÄtMix,' = s( n ~ 2 ),
oder:
Ä(£< —x t ')= 0, 2et'(£i—xP) = 0... ^ei (n_2) (£*— Xi') = 0.
Da aber die gesuchten Ebenen auf der gegebenen senkrecht
stehen, müssen ihre Koeffizienten den Gleichungen genügen:
c £ = 0, le/ Ci — 0 . . . Ci = 0.
Die letzten Gleichungen müssen aber mit den vorangehenden
identisch sein. Das ist nur möglich, wenn für jede Marke x die
Gleichung erfüllt ist:
£* — X* = Mc* oder x x == £ x — Mc*.
