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Dritter Abschnitt. $ 9. 
Wir bestimmen die y* als Funktionen von x 0 , x t ...x n und 
die y*' als dieselben Funktionen von Xf/, Xi'...x n ', so dafs die 
Gleichungen bestehen: 
k 2 x 0 2 -F X] 2 -f- • • • + x n 2 = k 2 y 0 2 ~F yi 2 -J- • . • -j- Yn 2 , 
k 2 x 0 ' 2 + xF 2 + ... -f x„’ 2 = k 2 y rt ' 2 -f Yi' 2 + • • • + Yn 2 > 
k 2 x 0 Xo ~F x i x t + • . . +x n x„' = k 2 y 0 y 0 -f- yiyi + • • • + yn> r n • 
Dann ergeben sich auf dem im vorigen Paragraphen durchge 
führten Wege, dafs die y x homogene lineare Funktionen der 
Xo, x t ...x n sind, so dafs wir setzen können: 
(3) y X = N flxQ^Q für X = 0, 1 ,.. n, 
p = o 
wo zwischen den Koeffizienten /ux? gewisse leicht zu übersehende 
Relationen bestehen. 
Bei den weiteren Untersuchungen wollen wir der Einfachheit 
wegen zuerst annehmen, k 2 sei positiv. Wir suchen den geo 
metrischen Ort aller Punkte (x 0 ,. . x n ), welche von zwei Punkten 
x' und x' gleichen Abstand haben. Dann müssen die Werte x 0 , 
x x ...x n der Gleichung genügen: 
(4) a 0 x 0 -f- a* Xi -f- ... -j- a nX n = 0, 
wo ist 
(5) pa<) = k 2 (xo — Xo ), = Xj Xj ... (>a n == x n x n ■ 
Wenn umgekehrt die a 0 , Zi ... a n und x 0 '...x n ' gegeben 
sind, so lassen sich die x 0 "...x n ' nach (5) stets eindeutig be 
stimmen, und die Gröfse q kann weder unendlich noch imaginär 
werden. Sie kann auch nicht verschwinden, wenn nicht das 
Wertsystem x' der Gleichung (4) genügt. Aus (5) folgt nämlich 
zunächst 
x 0 " = Xo' — x x " = Xj' — i»a x ... x n = x n ' — (;a n , 
und wenn wir auf x" die Gleichung (1) anwenden, so ergiebt sich: 
2(»(a 0 x 0 ' -f- ajXi -f- • •. -j- a nXn ) = 4“ a i 2_ F*'- - F a n 2 '^ * 
Die Transformation (3) kann jedes Gebilde (4) in jedes 
Gebilde J£ , b i x i = 0 umwandeln; jedes derartige Gebilde heifst 
eine (n — 1)-dimensionale Ebene. Indem man die Transforma 
tionen einer Ebene in sich untersucht, findet man dieselben 
identisch mit denjenigen Transformationen, welche nach den