Der mehrdimensionale Raum. 
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Gleichungen (3) für einen (n — 1) - dimensionalen Raum für 
dasselbe k 2 gelten. 
Ohne der Allgemeinheit Abbruch zu thun, können wir 
zwischen den Konstanten in der Gleichung einer Ebene (ihren 
Koordinaten) die Beziehung festsetzen: 
(6) ^ > + V + --. + a„*=l. 
Transformieren wir die Gleichung (4) unter dieser Voraus 
setzung durch die Transformation (3) und beachten die zwischen 
den Koeffizienten [x tx bestehenden Relationen, so erkennen wir, 
dafs auch die neuen Koeffizienten der Gleichung (fi) genügen. 
Zugleich können wir mit der Ebene (a 0 , ai ... a n ) den Punkt 
(g 0 , ¿i ••• £n) in enge Beziehung bringen, dessen Koordinaten 
durch die Gleichungen erhalten werden: 
( 7 ) Io = -p |i = a t k ... g n = a n k. 
Wenn dann e den Abstand der Punkte g und x bezeichnet, 
so ist 
e 1 
k 2 cos =k 2 g 0 Xo + • • • ~hg n x n = y (a 0 x 0 -f- aiXj + ... a n x n ); 
also ist cos ^ = 0, wenn der Punkt x auf der Ebene (a 0 ,a! ...a n ) 
gewählt wird. Wir bezeichnen den Punkt (g 0 , gi .. . g n ) als den 
Pol der Ebene (a 0 , a x . ,.a n ), wenn die Beziehung (7) besteht, 
und letztere als die Polarebene des Punktes (g), und finden 
den Satz: 
Der Abstand eines Punktes von jedem Punkte seiner Polar 
ebene beträgt 
Sind a 0 ', a l '.,.a n ' die Koordinaten einer zweiten Ebene, 
so bleibt bei jeder Transformation von der hier vorausgesetzten 
Eigenschaft auch die Gröfse des Ausdrucks 
—l - a i a i ~h • • • a n a n 
ungeändert. Der Wert desselben liegt zudem (für ein positives k 2 ) 
zwischen 1 und — 1, und erreicht den ersten Wert nur, wenn 
a 0 ' = a 0 , ai' = a x ... a n '= a n ist; wir können daher setzen: 
(8) cos ^—E a i a i “h • • • “h a n a n ■