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Dritter Abschnitt. § 9. 
Dann stellt r/ eine invariante Beziehung zwischen den beiden 
Ebenen dar und wird als ihr Winkel bezeichnet. 
Wenn mehrere Ebenen 
(9) IWxv = 0, ¿V'xv =» 0 ... Ä (p) x v = 0 
gegeben sind, so können wir nach ihrem Schnittgebilde fragen. 
Wir gelangen dadurch, gerade wie im vorigen Paragraphen, zu 
der (n — p)-dimensionalen Ebene und für p=n — 1 zur Geraden. 
Ebenso erhalten wir die Definitionen für den Büschel, den Bündel 
u. s. w. von (n — 1) - dimensionalen Ebenen. 
Bei dieser Darstellung setzen wir natürlich voraus, dafs keine 
der Ebenen (9) durch das Schnittgebilde der übrigen hindurch 
geht, dafs also die Gleichungen von einander unabhängig sind. 
Unter dieser Voraussetzung dürfen wir der Gleichung jeder Ebene, 
welche durch das Schnittgebilde geht, die Form geben; 
(10) -2 , A«a»»^xv = 0 für u— 1. .. p, v — 0, 1. .. n, 
a, v 
wo die Bedingung (6) eine quadratische Relation zwischen 
X x ... A p erfordert, und wo die Koeffizienten sämtlicher x gleich 
zeitig nur für X x — X 2 = ä p = 0 verschwinden. 
Soll die Ebene (10) auf der Ebene 
(11) J£bvxv = 0 
senkrecht stehen, so mufs nach (8) die Bedingung erfüllt sein: 
(12) 2X a a v {a) hv=0. 
a, v 
Diese Gleichung kann für alle Werte der X erfüllt sein. Dann 
stehen alle Ebenen (10) auf der Ebene (11) senkrecht und wir 
legen dem Schnittgebilde dieselbe Eigenschaft bei. Dieser Fall 
tritt ein, wenn jede der Ebenen (9) oder allgemeiner, wenn irgend 
p unter den Ebenen (10), deren Gleichungen von einander un 
abhängig sind, auf der Ebene (11) senkrecht stehen. 
Wenn aber die Gleichung (12) nicht identisch erfüllt ist, 
so wird, weil nur eine Bedingung zwischen den X besteht, eine 
(p—2)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit von Ebenen die ver 
langte Eigenschaft haben. Dann läfst sich durch das Schnitt 
gebilde eine (n — 1)-dimensionale Ebene legen, welche auf allen 
Ebenen dieser Mannigfaltigkeit senkrecht steht. Die Lage dieser 
Ebene zur Ebene (11) ist charakteristisch für die Lage des Schnitt 
gebildes zur Ebene (11).