Der mehrdimensionale Raum. 
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Sind p Punkte (x'), (x ) ... (x (p )) gegeben, so mögen alle 
Punkte betrachtet werden, deren Koordinaten durch die Gleichungen 
gegeben sind: 
(13) xv = u x xP -|- U2XV -f- u p xp p) für v = 0, 1 . . . n. 
Hierbei muls vorausgesetzt werden, dafs x 0 , x t ...x n nur 
dadurch sämtlich gleich null gemacht werden können, dafs alle 
Gröfsen Uj ...u p verschwinden; im andern Falle könnte man die 
Koordinaten durch weniger von einander unabhängige Gröfsen 
darstellen. Die Relation (1) verlangt, dafs zwischen den p Gröfsen 
Ui ... u p eine quadratische Beziehung besteht; die Gesamtheit der 
durch (13) dargestellten Punkte stellt also eine (p — l)-fach 
ausgedehnte Mannigfaltigkeit, und zwar, wie man sofort sieht, 
eine Ebene von p — 1 Dimensionen dar. 
Die (n — 1)-dimensionalen Gebilde zweiter Ordnung werden 
durch eine homogene quadratische Gleichung 
(14) XJ ai^XiX^=() 
l, X — 0 
definiert. Die projektiven Eigenschaften sind offenbar dieselben, 
welche wir in § 7 entwickelt haben. Viele metrischen Eigen 
schaften hangen mit der Aufgabe zusammen, die beiden Formen 
k 2 x 0 2 -f- x x 2 -f-... -f x n 2 und JSa.ixXi xx durch dieselben Quadrate 
darzustellen. Diese Aufgabe läfst sich für ein positives k 2 immer 
lösen, da alsdann die erste Form stets positiv ist. Wir finden 
also eine neue Darstellung 
(15) b 0 y 0 2 + bjyj 2 -f ... +b n y n 2 = 0 
durch die Gröfsen y 0 , y t ...y n , welche homogene lineare Funk 
tionen von x 0 , Xj ...x n sind und zwischen denen die Beziehung 
besteht: 
k 2 yo 2 + yi 2 + • • .+ y n 2 = k 2 . 
Die Einteilung der quadratischen Gebilde beruht einmal auf 
projektiven Eigenschaften. Wenn bei irgend einer Darstellung 
ihrer Gleichung durch lauter Quadrate verschwindende Koeffi 
zienten Vorkommen, so nennen wir das Gebilde ein Kegelgebilde 
und unterscheiden davon die eigentlichen quadratischen Gebilde. 
Die letzteren zerfallen dann wieder in ^ oder 11 Arten 
2 2 
je 
nach der Zahl der positiven und negativen Werte unter den 
Koeffizienten b 0 , b x .. . b n in (15). Demnach ist das Gebilde 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 14