Der mehrdimensionale Raum. 
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wenn der Abstand (0, 1) gleich dem Abstand (2, 3) ist. Legen 
wir also rechtwinklige Cartesische Koordinaten zu Grunde, so 
bleibt der Ausdruck (x x — xL) 2 + . .. (x n — x n ') 2 für n = 2 und 
n = 3 ungeändert. Deshalb bezogen wir in § 8 die Wertsysteme 
xj . . . x n für jedes beliebige n so auf einander, dafs die vorstehende 
quadratische Form sich nicht ändert. Ein solcher Ausgangspunkt 
ist vom analytischen Standpunkt aus natürlich willkürlich, ja ohne 
prinzipielle Berechtigung. Ersetzen wir z. B. die Koordinaten 
Xj .,. x R durch n von einander unabhängige Gröfsen z x ... z„, 
welche Funktionen von x x . .. x„ sind, so mufs es doch möglich 
sein, die gewonnenen Resultate auch vermittelst der Gröfsen 
Zi ... z n zu erlangen. Indessen ist es nicht einmal möglich, den 
Ausdruck lür das Quadrat des Abstandes in den neuen Variabein 
genügend zu charakterisieren. 
Um diesem Ziele wenigstens näher zu kommen, nehmen 
wir an, die beiden Punkte lägen einander unendlich nahe; die 
Koordinaten des einen mögen Xi . .. x n , die des andern x x dx x 
... x n -f- dx n sein. Durch die beiden Punkte legen wir eine gerade 
Linie; dann ist die Länge des zwischen den beiden Punkten ent 
haltenen Stückes gleich Tdx x 2 -f-... fi- dx n 2 . Denkt man sich 
aber eine beliebige Linie durch die beiden Punkte gelegt, so wird 
man annehmen dürfen, der durch sie begrenzte Bogen, das Linien 
element, fiele mit der geradlinigen Strecke zusammen, wofern 
die Kurve nur in dem Punkte x eine Tangente hat. Die letzte 
Voraussetzung kommt darauf hinaus, anzunehmen, dafs, wenn 
der Punkt x -R dx auf der Kurve eine andere Lage annimmt, die 
Gleichungen befriedigt werden: dx x = p x (x)dt, .. dx n = p n (x)dt, 
wo die p x (x) . .. p n (x) blofse Funktionen von x x ... x n und dt 
eine unendlich kleine Gröfse bedeutet. Hiernach tritt der Aus 
druck Tdx, 2 + • • • + dx n 2 in enge Beziehung zu allen krummen 
Linien, für welche die Unterschiede der Koordinaten in der Um 
gebung des Punktes x durch Multiplikation fester Gröfsen, die 
nur Funktionen von x x . .. x n sind, mit einer unendlich kleinen 
Gröfse dt erhalten werden. Ersetzen wir aber in diesem Ausdruck 
die x x .. . x n durch beliebige lineare Funktionen derselben: 
y* =2ciaXa + nit, 
« 
wo die C/ß und m ( Konstante sind, so ändert sich der Ausdruck 
u*