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Dritter Abschnitt. § 10. 
er das Linienelement als naht Wurzel aus einer stets positiven 
Form m^ Grades in den Differentialen dx voraus. Der ein 
fachste Fall ist also der, wo das Quadrat des Linienelementes 
als Form zweiten Grades vorausgesetzt wird, so dafs die Gleichung 
besteht; 
(l) ds 2 = Sz ix dxi dx*. 
Wir haben jetzt zu untersuchen, ob wir wohl auf rein ana 
lytischem Wege zu den speziellen Fällen gelangen können, welche 
wir in den beiden vorangehenden Paragraphen zu Grunde gelegt 
haben. Darüber hat Riemann selbst in einer andern Arbeit 
wichtige Andeutungen gemacht. Ehe aber diese Abhandlung 
bekannt geworden war, haben sich die Herren Christoffel und 
Lipschitz mit derselben Aufgabe beschäftigt. Im Anschlufs daran 
sind noch zahlreiche andere Arbeiten erschienen, welche wir hier 
nicht sämtlich erwähnen können. Wir begnügen uns damit, 
einige Resultate anzugeben, welche Herr Schur im Anschlufs an 
frühere Arbeiten entwickelt hat. Für die Beweise müssen wir 
auf seine Arbeit selbst verweisen. 35 ) 
Der Ausdruck für das Linienelement gestattet, die kürzesten 
Linien zu bestimmen. Führt man nämlich die Abkürzung ein: 
da«* 
dxp ’ 
und bezeichnet man mit r die Länge der geodätischen Linie, so 
ergeben sich die zweiten Differentialquotienten aus den Gleichungen: 
,a\ F ,X 1 ^ ai '° I 
C ' \ q \~ dx* + dx. 
d 2 x 0 
A* dr* 
is\ 
oa Li 1 
x 
pa 
dxp dxa 
dr dr 
() = 1 — QO I 
Diese Gleichung gestattet, wenn der Anfangspunkt (x L °. ,.x n °) 
und die Richtung (dxt 0 ... dx n °) der geodätischen Linie gegeben 
ist, die zweiten und dann die dritten und die ferneren Ableitungen 
d 2 x«° d 3 x a ° , , 
—j——, . „ ... zu berechnen. 
dr 2 dr 3 
Indem man = r ;« setzt, wo die n Gröfsen r> y ... rj n 
durch die Relation verbunden sind: 
Aa,* 0 rji rjx — 1, 
kann man jeden Punkt des Raumes, welcher in der Umgebung 
des festen Punktes (x^-.-Xn 0 ) liegt, dadurch bestimmen, dafs 
man von dem festen Punkte aus nach demselben die kürzeste