Der mehrdimensionale Raum. 
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Linie zieht; sind ... tj n die Bestimmungsgröfsen dieser geodä 
tischen Linie und ist r ihre Länge vom festen bis zu dem zu 
bestimmenden Punkte, so möge gesetzt werden: 
y« = rrjcc; alsdann wird durch y x ... y n der Punkt be 
stimmt. Diese neuen Variabein bezeichnet Herr Lipschitz als die 
Normalvariabeln. In diesen neuen Variabein möge das Linien 
element ds durch die Gleichung bestimmt sein: 
-27bt*dy t dy* = ds 2 , 
und diejenigen Werte, welche die hix beim Verschwinden der y an 
nehmen, mögen entsprechend der für aix° festgesetzten Bedeutung 
mit bi* 0 bezeichnet werden. 
Wir legen zwei feste Richtungen rja und ■»;«" zu Grunde, 
setzen zwischen zwei Gröfsen a und ß die Beziehung fest 
+ 2ccß2b lx °r J c V' + ß 2 = 1, 
definieren die Gröfse y durch die Gleichung: 
cos (f = a ~f~ ß2hi X °rji' ij X " 
und suchen diejenige Fläche, welche alle durch die Richtungen 
r; L = cctji' -|-ßrjt" bestimmten geodätischen Linien enthält. Auf 
dieser Fläche erscheint das Linienelement ds in der Form: 
(3) ds = Vdr 2 + r 2 [i 2 d (f 2 , 
wo fi 2 eine Funktion von y t ... y n ist. Dann ist das Gaufssche 
Krümmungsmafs ~ dieser Fläche im Anfangspunkte 
(4) 
d 2 (rfi) 
dr 2 
r/t 
Um diesen Ausdruck in den ursprünglichen Koordinaten 
darzustellen, führen wir zuerst die Gröfsen Kix durch die 
Gleichungen ein: 
(5) UsLifjAxp = 0 oder =1, jenachdem i -W * oder r = x ist, 
und setzen ferner zur Abkürzung: 
d 2 a<* , d 2 a uv 
(6) (jxXjl) 
dx;. dx« dxi dx* 
< 
d 2 a^ 
~h 
e, o=i 
[«] K] 
dx* dx« 
I in 
d 2 a*« 
dx* dxA