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Dritter Abschnitt. § 11. 
stehen, dafs 2(\ t —ai) 2 konstant ist. Von diesen Wertsystemen 
setzen wir folgende Sätze voraus: 
1. Wenn eine Gerade zwei Punkte mit einer beliebigen 
Ebene E m gemeinschaftlich hat, so fällt sie ganz in sie hinein. 
2. Durch eine m-dimensionale Ebene und einen ihr nicht 
angehörigen Punkt läfst sich eine, und zwar nur eine Ebene von 
m -J- 1 Dimensionen legen. Durch fortgesetztes Ziehen von ge 
raden Linien kann man von der E in und dem gegebenen Punkte 
aus zu jedem Punkte gelangen, dessen Zugehörigkeit zu E m+1 
auf irgend einem Wege erkannt ist. 
3. Jede in einer E m gelegene E m _! teilt dieselbe in zwei 
Teile, so dafs jede gerade Linie, welche zwei auf verschiedenen 
Teilen von E m gelegene Punkte verbindet, die E m .-! schneidet, 
und dafs jede in E m gelegene Gerade, welche einen Punkt mit 
der E m _! gemeinschaftlich hat, in diesem Punkte von der einen 
auf die andere Seite tritt. 
4. Jede dreidimensionale Ebene hat die Eigenschaften des 
euklidischen Raumes, und demnach jede zweidimensionale Ebene 
die einer euklidischen Ebene. 
Aus diesen Voraussetzungen lassen sich weitere Sätze her 
leiten. 
a) »Wenn für /t y> v eine Ev mit einer E« eine Ev-i und 
einen aufserhalb derselben gelegenen Punkt E 0 gemeinschaftlich 
hat, so fällt sie ganz in dieselbe hinein.« 
Verbinden wir einen beliebigen Punkt der Ev_i mit E 0 
durch eine gerade Linie E t , so liegen alle ihre Punkte sowohl 
in der Ev wie in E^. Verbinden wir einen andern Punkt der 
E t mit einem beliebigen Punkte der Ev-i, so gehört auch diese 
Gerade der E^ und Ev an. Indem man so fortfahrt, kann man 
zu allen Punkten der Ev gelangen: 
b) »Wenn x (< n) gerade Linien gegeben sind, welche sich 
in einem Punkte schneiden, so läfst sich jedenfalls eine Ebene 
von x Dimensionen durch sie hindurchlegen, und zwar wenn die 
x Geraden nicht in einer Ebene von x — 1 Dimensionen liegen, 
so giebt es eine einzige E*, in welcher alle diese Geraden liegen.« 
Durch zwei Geraden g x und g 2 geht im vorliegenden Falle 
eine einzige E 2 ; wenn diese die g 3 nicht enthält, so lege man 
durch E 2 und einen vom gemeinschaftlichen Schnittpunkt ver