Der mehrdimensionale Raum. 
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gegebene Gerade h auf g' und g;. +1 senkrecht steht, so steht sie 
auch auf der mit ihnen in derselben E 2 gelegenen Geraden g’ 
senkrecht. 
k) »Stehen x Geraden g x ... g* in demselben Punkte A auf 
/ Geraden hi . .. h;. senkrecht und bestimmen die g x .. . g x eine 
einzige Ebene E* von x Dimensionen und die h x ... lu eine ein 
zige Eä, so steht jede durch A gelegte Gerade g der ersten Ebene 
auf jeder durch denselben Punkt gehenden Geraden h der zweiten 
Ebene senkrecht.« 
Da nach der Voraussetzung jede Linie g« für ct—l...x 
auf den X Geraden h x ... h;. senkrecht steht, so steht g« auch 
senkrecht auf jeder Geraden h, welche durch A in der durch die 
Linien h x . .. h;. bestimmten Ebene E;. gezogen werden kann. 
Umgekehrt steht hiernach h auf den Linien g x ... g x senkrecht, 
also auch auf jeder Geraden g, die in E x liegt und durch den 
Punkt A geht. 
l) »Durch jeden Punkt einer Geraden geht eine einzige 
(n—I)-dimensionale Ebene, welche auf ihr senkrecht steht.« 
Durch die Gerade g lege man n — 1 Ebenen E 2 und errichte 
in jeder durch den gewählten Punkt die Senkrechte. 
m) »Durch jeden Punkt einer (n — 1) - dimensionalen Ebene 
E n _ x geht eine und zwar eine einzige Gerade, welche auf ihr 
senkrecht steht.« 
Man wähle in E„_ x durch den Punkt n — 1 gerade Linien 
und errichte die dazu senkrechten En—!* 1 )...E n _ x * n— ü, diese haben 
eine Gerade gemeinschaftlich. Gäbe es aber zwei solche Gerade, 
welche in A auf E n _ x senkrecht stehen, so müfsten die sämt 
lichen durch A gehenden Geraden einer E 2 auf E n _! senkrecht 
stehen, was nicht möglich ist, da eine solche Gerade der E 2 in 
die E n _i fällt. 
n) »Alle Geraden, welche in einem gegebenen Punkte einer 
E;. auf ihr senkrecht stehen, füllen eine (n — X)-dimensionale 
Ebene an.« 
Beweis wie bei m). 
o) »Alle Geraden, welche in einem gegebenen Punkte einer 
E;. auf ihr senkrecht stehen und zugleich in einer E u enthalten 
sind, der auch E;. angehört, füllen eine Ebene von ,«— X Dimen 
sionen an.«