Der mehrdimensionale Raum. 
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Sind E/j. und Eß parallel und fällt man von zwei Punkten 
der ersten die Senkrechten auf die zweite, so sind dieselben 
parallel (da der Satz q) auch für jede in einer E^ liegende E,« 
gilt). Somit sind dieselben Gegenseiten in einem Parallelogramm 
und deshalb gleich. 
s) »Steht PA auf einer E n _ x und PB auf einer in E n _t gele 
genen E„— 2 senkrecht, so steht auch AB auf der E n _ 2 senkrecht.« 
Zieht man durch B die Gerade BC j| PA, so liegt BC in 
der Ebene PAB; zudem steht BC auf E n _i senkrecht, also sicherlich 
auch auf der in E n _j gelegenen E n _ 2 . Auf der letzteren Ebene 
stehen also die Geraden BC und BP senkrecht, also auch jede 
durch B gehende Gerade der Ebene PBC, somit auch die Gerade AB. 
t) »Wenn zwei Ebenen E n _! und sich schneiden und 
wenn man in einem Punkte A der Schnittebene E n _ 2 zwei Senk 
rechte g und h auf ihr errichtet, von denen die eine in E n _ a , 
die andere in £„_/ liegt, so ändert der von g und g' einge 
schlossene Winkel seine Gröfse nicht, wenn man an Stelle des 
Punktes A irgend einen andern Punkt der Schnittebene wählt.« 
Für einen zweiten Punkt B der Schnittebene sei h in E n —i 
und h' in E„ i' senkrecht auf E„_ 2 errichtet; es soll bewiesen 
werden, dafs <£ (hh ) = <£ (gg ) ist. Da g und h in einer zwei 
dimensionalen Ebene liegen und ebenso g' und h und da diese 
die Gerade AB gemeinschaftlich haben, so liegen die Geraden 
g, g', h, h' in einer E 3 , Somit gilt der Satz, da er für den 
dreidimensionalen Raum bewiesen ist. 
§ 12. 
Die ersten Sätze des vierdimensionalen Raumes. 
Um die Entwicklungen des vorigen Paragraphen, welche für 
den ersten Anfänger wegen ihrer Abstraktheit vielleicht einige 
Schwierigkeiten bieten, dem Verständnis näher zu bringen, wollen 
wir die darin enthaltenen Sätze für den vierdimensionalen Raum 
nochmals auf einem andern Wege herleiten und daran verwandte 
Untersuchungen anknüpfen. 
Wir gehen wieder von denselben Voraussetzungen aus, die 
wir im vorigen Paragraphen der Untersuchung zu Grunde gelegt 
haben; nur nehmen wir die Zahl der Dimensionen gleich vier an. 
Dann haben die Ebenen entweder zwei oder drei Dimensionen.