224 
Dritter Abschnitt. § 12. 
Da die ersteren euklidische Ebenen sind, jede der letzteren aber 
die Eigenschaften des dreidimensionalen euklidischen Raumes be 
sitzt, so ist es nicht nötig, eine Ebene für sich zu untersuchen 
oder Gebilde zu betrachten, die in einer Ebene enthalten sind. 
a) »Eine Gerade schneidet entweder eine E 3 oder sie hat 
mit ihr keinen Punkt gemeinschaftlich. Im zweiten Falle heifst 
sie zu ihr parallel, und dann ist sie zu jeder Geraden der E 3 
parallel, welche mit ihr in einer zweidimensionalen Ebene liegt; 
auch wird eine Gerade jedesmal einer E 3 parallel sein, wenn sie 
zu einer in ihr gelegenen Geraden parallel ist.« 
»Wofern eine Gerade eine E 3 schneidet, steht sie entweder 
auf allen in E 3 gelegenen und durch den Schnittpunkt gehenden 
Geraden senkrecht (und dann sagt man, sie stehe auf der E 3 
senkrecht), oder sie steht nur auf allen derartigen Geraden einer 
in E 3 gelegenen zweidimensionalen Ebene E 2 senkrecht, während 
sie mit einer einzigen in E 3 gelegenen Geraden den kleinsten 
spitzen Winkel bildet; diese Gerade steht auf der bezeichneten 
E 2 senkrecht und enthält den Fufspunkt einer jeden Senkrechten, 
welche man von Punkten der Geraden auf die E 3 fällen kann.« 
»Alle Geraden, welche in einem gegebenen Punkte einer 
Geraden auf ihr senkrecht stehen, gehören einer E 3 an, und in 
jedem Punkte einer E 3 steht auf ihr nur eine einzige Gerade 
senkrecht.« 
»Wenn von zwei parallelen Geraden die eine zu einer E 3 
parallel ist, so mufs es auch die andere sein; ebenso sind die 
Winkel gleich, die zwei parallele Gerade mit derselben E 3 bilden.« 
»Zwei Gerade, die auf derselben E 3 senkrecht stehen, sind 
parallel.« 
Wenn die Gerade g die E 3 nicht trifft, so kann sie auch 
keine in E 3 gelegene Gerade schneiden; wenn also eine Gerade 
der E 3 mit g in einer E 2 liegt, so mufs sie zu g parallel sein. 
Ist umgekehrt g | h und liegt h in E 3 , so kann g die E 3 nicht 
treffen; legt man nämlich durch g und h eine E 2 , so kann ein 
Schnitt von g mit E 3 nur auf dieser E 2 liegen; E 2 kann aber mit E 3 
nur die Gerade h gemeinschaftlich haben, (weil sie sonst ganz 
in E 3 fiele), und ein Schnitt von g mit h ist ausgeschlossen. 
Um die anderen Teile des Satzes beweisen zu können, mufs 
man zunächst zeigen, dafs, w^enn g auf drei durch ihren Schnitt