Der mehrdimensionale Raum. 
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punkt gehenden Geraden 1, m, n von E 3 senkrecht steht und 
diese nicht in einer E 2 liegen, sie mit allen durch den Schnitt 
punkt gehenden Geraden der E 3 rechte Winkel bildet. Wenn 
g auf 1 und m senkrecht steht, so mufs sie auf der durch 1 und 
m hindurchgehenden E 2 senkrecht stehen; nun lege man durch 
irgend eine Gerade von E 2 und die n wieder eine E 2 ', so steht 
g auch auf dieser senkrecht; somit steht g auf jeder in E 3 gele 
genen und durch den Schnittpunkt gehenden Geraden senkrecht. 
Wenn umgekehrt g und ein Punkt P auf g gegeben ist, so 
kann man durch g beliebig viele Ebenen E 2 legen und in jeder 
eine Gerade konstruieren, die in P auf g senkrecht steht; alle 
diese Geraden gehören einer E 3 an; denn sonst müfsten alle 
durch P gehenden Geraden auf g senkrecht stehen, was un 
möglich ist. 
Wenn die Geraden AP und AQ beide in A auf E 3 senkrecht 
ständen, so könnte man in der zweidimensionalen Ebene APQ 
in A auf AP eine Senkrechte errichten. Dann müfste diese auch 
der E 3 angehören, also auch auf AQ senkrecht stehen, was nicht 
möglich ist. 
Wenn von drei Geraden zwei der dritten parallel sind, so 
liegen sie in einer dreidimensionalen Ebene; daher müssen jetzt 
die Geraden einander parallel sein. Daraus folgt unmittelbar, 
dafs, wenn von zwei Parallelen die eine einer E 3 parallel ist, auch 
die andere zu E 3 parallel sein mufs. Somit werden zwei Parallelen 
entweder beide eine E 3 schneiden oder beide zu ihr parallel sein. 
Wenn von zwei Parallelen die eine auf E 3 senkrecht steht, 
so kann zunächst die andere nicht zu E 3 parallel sein; also wird 
E 3 von beiden Geraden geschnitten. Durch die Schnittpunkte 
ziehe man in E 3 drei Paare paralleler Geraden; dann lassen sich, 
weil Winkel mit gleichgerichteten Schenkeln gleich sind, drei 
Gerade in E 3 bestimmen, die keiner E 2 angehören und auf denen 
die zweite Gerade senkrecht steht; die zweite Parallele steht also 
auf E 3 senkrecht. 
Dafs umgekehrt zwei gerade Linien, die auf einer E 3 senk 
recht stehen, parallel sind, läfst sich leicht indirekt beweisen. 
Wenn die Gerade AP die E 3 in A trifft, ohne auf ihr senk 
recht zu stehen, so fälle man von einem beliebigen Punkte Q 
von AP auf E 3 die Senkrechte QB. Dann liegt in der zwei- 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 
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