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Dritter Abschnitt. § 12. 
»Im zweiten Falle errichte man in demselben Punkte des 
Schnittgebildes auf ihm in jeder der beiden Ebenen die Senkrechte; 
dann ist die Gröfse des von den Senkrechten eingeschlossenen 
Winkels unabhängig von dem gewählten Punkte. Ist dieser 
Winkel ein Rechter, so fällt jede von einem Punkte der einen 
Ebene auf die andere gefällte Senkrechte ganz in die erste hinein.« 
Wenn die Ebenen E 3 und E 3 einen Punkt A gemeinschaftlich 
haben, so nehme man in E 3 eine durch A gehende E 2 ; diese 
schneide die E 3 ' in einer Geraden g. Nun kann man aber durch 
A in E 3 eine zweite E 2 ' legen, in welcher die Gerade g nicht 
enthalten ist; folglich ist die Schnittgerade g' der Ebenen E«' 
und E 3 ' von g verschieden. Wenn aber die Ebenen E 3 und E 3 ' 
die beiden Geraden g und g' gemeinschaftlich haben, so müssen 
sie sich in einer zweidimensionalen Ebene schneiden. 
Haben E 3 und E 3 ' keinen Punkt gemeinschaftlich, so mufs 
jede E,, welche die eine nicht schneidet, auch zu der andern 
parallel sein. Umgekehrt mufs jede E 2 , welche die eine schneidet, 
auch mit der andern eine Gerade gemeinschaftlich haben; zugleich 
müssen die beiden Schnittlinien parallel sein, da sie in einer E 2 
liegen und sich nicht schneiden. Dafs jetzt die Ebenen E 3 und 
E 3 ' überall gleichen Abstand haben, wird genau so bewiesen, wie 
der entsprechende Satz in b). Steht endlich g auf E 3 senkrecht, 
so schneidet g auch die parallele E 3 '; dafs g aber auch auf E 3 ' 
senkrecht steht, beweist man wieder dadurch, dafs man durch 
die Fufspunkte in den Ebenen Paare von parallelen Geraden zieht. 
Jetzt mögen sich E 3 und E 3 ' in E 2 schneiden; in E 2 wähle 
man den Punkt A und errichte AB in E 3 senkrecht auf E 2 und 
AG in E 3 ' senkrecht auf E 2 . Liegt A' gleichfalls in E 2 und 
gehört A'B' der E 3 , A'C' der E 3 ' an und stehen beide auf E 2 
senkrecht, so soll bewiesen werden, dafs <£ B'A'C = BAG ist. 
Wählt man AB = A'B , AC = A'C, so ist, da AB || A'B ist, 
auch BB 1| AA', und ebenso CG' ]| AA', folglich auch CG' |] BB ; 
und da ebenfalls BB' == AA' und CG' = AA' ist, so ist auch 
BB' = CG', folglich BC = B'C' und < BAG = B'A'C'. Man kann 
auch AB = A'B' machen und von ß und B' die Senkrechten auf 
E 3 ' fällen; dann liegen ihre Fufspunkte in AG resp. A'C. Da 
zudem BB' parallel zu E 2 und somit auch zu E 3 ' ist, so sind die 
Senkrechten gleich und somit auch die Winkel BAG und B'A'C.