Der mehrdimensionale Raum. 
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d) »Eine dreidimensionale Kugel K 3 , der geometrische Ort 
aller Punkte, welche von einem Punkte gleichen Abstand haben, 
wird von einer E 3 in einer K 2 geschnitten, wenn ihr Abstand 
vom Mittelpunkte kleiner ist als der Radius; sie wird von der 
E 3 berührt, wenn der Abstand gleich dem Radius ist; dagegen 
liegt die Ebene ganz aufserhalb des Kugelgebildes, wenn der 
Abstand gröfser ist als der Radius. Im ersten Falle fällt der 
Mittelpunkt der Schnittkugel, im zweiten der Berührungspunkt 
mit dem Fufspunkt der Senkrechten zusammen.« 
»Ein solches Kugelgebilde hat, für sich betrachtet, die Eigen 
schaften eines dreidimensionalen Riemannschen Raumes. Zu jedem 
Punkt existiert ein Gegenpunkt, der zweite Endpunkt des von 
dem ersten ausgehenden Durchmessers. Vier Punkte des Gebildes, 
welche nicht mit dem Mittelpunkt in derselben E 3 liegen, be 
stimmen ein sphärisches Tetraeder. Legt man nämlich durch 
je drei von ihnen und den Mittelpunkt eine E 3 , so begrenzen 
diese 16 Teile gegen einander ab; nur einem dieser Teile ge 
hören die vier gegebenen Punkte als Eckpunkte an. Ein zweites 
Tetraeder wird durch die Gegenpunkte bestimmt; die beiden 
sphärischen Gegen-Tetraeder sind kongruent.« 
Der Beweis für alle diese Behauptungen ist so einfach, dafs 
er nicht durchgeführt zu werden braucht. 
e) »Wenn sich drei dreidimensionale Ebenen zu je zweien 
schneiden, so sind die Schnittgebilde entweder parallel oder sie 
haben eine Gerade gemeinschaftlich. Im zweiten Falle entstehen 
acht verschiedene Gebilde, welche aus Stücken dreidimensionaler 
Ebenen zusammengesetzt sind und von denen jedes einen (un 
endlichen) Teil des Raumes gegen den übrigen Raum abgrenzt. 
Jedes solche Gebilde möge als gewöhnlicher vierdimensionaler 
Winkel mit Doppelkante bezeichnet werden; dasselbe besteht aus 
drei Teilen von dreidimensionalen Ebenen, von denen jeder Teil 
durch zwei zweidimensionale Halbebenen begrenzt ist. Die Be 
ziehung zwischen den hierdurch bestimmten Flächenwinkeln und 
den Neigungen je zweier Ebenen wird durch Formeln angegeben, 
welche mit denen der gewöhnlichen sphärischen Trigonometrie 
identisch sind.« 
Gegeben seien die dreidimensionalen Ebenen A 3 , B 3 , C 3 ; 
je zwei mögen einander schneiden und zwar B 3 und C 3 in a 2 .