Der mehrdimensionale Raum. 
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keinen Punkt gemeinschaftlich haben; also mufs auch jede weitere, 
durch E 2 und einen Punkt von E 2 ' gelegte E 3 in einer Geraden 
schneiden, welche zu g und g' parallel ist. Jede dieser Linien 
ist auch zu E 2 parallel und demnach haben alle auf g liegenden 
Punkte von E 2 denselben Abstand. Macht man die Konstruktion 
unter Vertauschung der Ebenen, so findet man aufE 2 eine Schar 
paralleler Linien h, h'..., von denen jede zu E 2 ' parallel ist. 
Ferner ist g zu h parallel; denn da g jj E 2 ist, so kann man durch 
g und einen Punkt von h eine E 2 legen, welche E 2 in einer 
Geraden k trifft. Dann müfste k zu E 2 ' parallel sein; es gingen 
also durch jeden Punkt von E 2 zwei Parallele zu E 2 oder E 2 
und E 2 ' lägen in einer E 3 , was ausgeschlossen ist. 
Jetzt konstruiere man eine E 3 , welche auf g (und damit 
auf allen Parallelen g',... h, h'... ) senkrecht steht. Diese schneidet 
E 2 und E 2 ' je in einer Geraden k und k'. Diese beiden Geraden 
haben, wie bekannt, einen kürzesten Abstand in einer Geraden 
1, welche auf beiden senkrecht steht. Durch den Fufspunkt von 1 in 
E 2 möge die zu E 2 ' parallele Gerade g t und in E 2 ' die zu E 2 
parallele h, gehen. Die zweidimensionale Ebene durch 1 und g! 
geht auch durch h x und trifft beide Ebenen senkrecht. 
Wenn aber bei der oben angegebenen Konstruktion die 
Geraden g und g' sich in einem Punkte A schneiden, so ist dieser 
Punkt auch den Ebenen E 2 und E 2 ' gemeinschaftlich. Um die 
Beziehungen dieser Ebenen weiter zu untersuchen, beschreibe man 
um A als Mittelpunkt eine dreidimensionale Kugel. Diese schneidet 
die beiden Ebenen in zwei Hauptkreisen*k und k'. Hierfür gelten 
aber die Beziehungen, welche in I § 19 entwickelt sind. Ent 
weder sind die Geraden absolute Polaren von einander; dann 
werden E 2 und E 2 ' auf einander senkrecht stehen. Oder der 
senkrechte Abstand der einen Geraden von der andern hat ein 
Maximum und ein Minimum. Ist das Maximum ^tt, so enthält 
die eine Ebene eine Gerade, welche auf der andern senkrecht 
steht. Ebenso ergeben sich die weiteren Behauptungen unmittelbar 
aus den Sätzen über zwei Gerade des Riemannschen Raumes. 
Im allgemeinen ist also die gegenseitige Lage zweier zwei 
dimensionalen Ebenen durch zwei Winkel « und ß bestimmt. 
Um eine Ebene E 2 ' zu konstruieren, welche zu einer gegebenen 
H 2 die durch a und ß bestimmte Lage hat, nehme man in E 2