Dritter Abschnitt. § 12.
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zwischen den Summen verschiedener Prismen eingeschlossen und
daraus in bekannter Weise die Gleichheit gefolgert.
Nun seien A 1 A 2 A 3 A4 ; die Eckpunkte eines in einer E 3 gele
genen Tetraeders; ferner sei A^ = A 2 B 2 =..; A 1 B l [| A 2 B 2 \\ ...;
/A A> A A \
dann bestimmen ( Ü 1 D 2 t , 3 ü 1 ) ein vierdimensionales Prisma. Durch
\Bi B 2 B 3 B 4 J
B 4 und A 2 A 3 A 4 legen wir eine dreidimensionale Ebene; diese
zerteilt das Prisma in die vierseitige Pyramide
Br
Ai A 2 A 3 A 4
und
einen zweiten Körper, dessen Eckpunkte B l5 B 2 , B 3 , B 4 , A 2 , A 3 , A 4
sind. Es ist dies eine Pyramide mit der Spitze B 4 und dem
Grundgebilde (£££)•
Das letztere kann aber bekanntlich
in vier inhaltsgleiche Tetraeder zerlegt werden: (B 2 A 2 A 3 A 4 ),
(B 2 B 3 A 3 A 4 ) und (B 2 B 3 B 4 A 4 ). Demnach zerfällt das vierdimen
sionale Prisma in die Pyramiden:
/E. A
r B * ^
( Bl A
/ /ß i >
VAiAsA.AJ’
VB 2 A 2 A 3 A.i J
’ VBíB s a s aJ’
^BaBíAj
Die drei letzten haben gleiche Höhe und gleiche Grund
gebilde, da jedes Grundgebilde den dritten Teil des dreidimen-
sionalen Prismas
A 2 A 3 A 4 \
schreiben;
j enthält; somit sind die drei letzten
gleich. Das letzte kann man auch
, und hat dann zum Grundgebilde das
,B 2 B 3 B 4
Pyramiden an Rauminhalt gleich. Das letzte kann man auch
'A 4
Bi B 2 B 3 B 4
Tetraeder (B 1 B 2 B 3 B 4 ) und zur Höhe den Abstand der Ebene
(A t . .. A 4 ) von der Ebene (Bt... B 4 ). Die Pyramide i^ 1 . . . )
hat zum Grundgebilde das Tetraeder (A!A 2 A 3 A 4 ) und zur Höhe
den Abstand derselben Ebenen. Da aber die Tetraeder (Ai A 2 A 3 A 4 )
und (Biß 2 B 3 B 4 ) kongruent sind, so sind auch die beiden vier
dimensionalen Pyramiden gleich, und das vierdimensionale Prisma
ist in vier inhaltsgleiche Pyramiden zerlegt. Somit ist zunächst
die vierseitige, und demnach jede Pyramide der vierte Teil eines
Prismas, welches mit ihr gleiches Grundgebilde und gleiche
Höhe hat.
Der Messung legt man ein Prisma zu Grunde, welches von
lauter (nämlich acht) Würfeln begrenzt ist. Dann wird der
