Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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Dennoch hat man hier nicht einen Winkel von 360°, sondern 
einen kleineren Winkel beschrieben. Wenn also hier die Winkel 
summe, weiche eine Ebene bei einer Reihe gewisser Drehungen 
beschreibt, durch welche sie in ihre Anfangslage zurückgeführt 
wird, abhängig ist von den Geraden, um welche je eine Drehung 
ausgeführt wird, so darf die Unabhängigkeit nicht bei Drehungen 
einer Geraden in einer Ebene als selbstverständlich vorausgesetzt 
werden. 4 ) 
§ 5. 
Legendres Untersuchungen. 
Manche andere Versuche müssen hier, um nicht gar zu weit 
läufig zu werden, mit Stillschweigen übergangen werden. Ich 
möchte nur kurz daran erinnern, dafs der bekannte Philosoph 
Chr. von Wolf die Parallelentheorie auf die Voraussetzung gründet, 
dafs in der Ebene alle Punkte, welche von einer Geraden der 
selben Ebene gleichen Abstand haben, einer geraden Linie ange 
hören. Hiermit ist eigentlich schon zu viel vorausgesetzt; man 
braucht nur für einen einzigen Abstand anzunehmen, dafs drei 
derartige Punkte auf einer Geraden liegen, und kann daraus die 
Parallelentheorie ableiten. 
Besondere Bedeutung ist den Untersuchungen Legendres bei 
zulegen. Während man bis dahin zunächst versucht hatte, den 
Hauptsatz über die Parallelen (Euklids Propos. 29) zu beweisen, 
und darauf den Satz über die Winkelsumme eines Dreieck gestützt 
hatte, suchte Legendre zunächst den Satz zu beweisen, dafs die 
Summe der Winkel eines Dreiecks zwei Rechte beträgt. 
Durch beliebig oftmalige Wiederholung einer von Euklid 
(Elemente I, 16) angegebenen Konstruktion zeigt Legendre, dafs 
diese Winkelsumme zwei Rechte nicht übersteigen kann. Dies 
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