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Dritter Abschnitt. § 13. 
das erste Produkt alle E* so oft, als in einer E x Grenzgebilde 
Et liegen (zusammenstofsen); denselben Gedanken drückt aber 
auch die zweite Seite der Gleichung aus. 
f) »In jedem regelmäfsigen Polyeder giebt es einen Punkt, 
der von allen Ecken, Kanten, sowie von allen Grenzgebilden der 
übrigen Arten gleich weit entfernt ist; die von diesem Punkte auf 
ein Grenzgebilde gefällte Senkrechte trifft dasselbe in seinem 
Mittelpunkte. Speziell giebt es eine Kugel, welche durch alle 
Ecken geht, und eine zweite, welche alle (n — l)-dimensionalen 
Grenzgebilde berührt.« 
»Jedem regelmäfsigen Polyeder kann man als sein reziprokes 
ein zweites so zuordnen, dafs sich die Zahl der /-dimensionalen 
und der (n—1—/)-dimensionalen Grenzgebilde vertauscht.« 
Dieser Satz wird genau so bewiesen, wie der entsprechende 
Satz der gewöhnlichen Stereometrie. Um den ersten Teil als 
richtig zu erkennen, bewege man das Polyeder so, dafs es als 
Ganzes wieder den anfänglich gedeckten Raum einnimmt, während 
die Grenzgebilde zum Teil andere Lagen erhalten, und zeige, 
dafs dann jedesmal auch ein im Innern des Polyeders gelegener 
Punkt, der Mittelpunkt jener Kugeln, wieder in seine Anfangslage 
kommt. Für den zweiten Teil fälle man vom Mittelpunkte der 
Kugel auf jede E n _! die Senkrechte und wähle deren Fufspunkte 
(oder auch deren Schnittpunkte mit der Kugel) zu Eckpunkten 
eines neuen Polyeders. Mit E n _! mögen E n _f, E n _i". .. zusammen 
stofsen; vom Fufspunkt der auf E 1W gefällten Senkrechten ziehe 
man gerade Strecken nach den Fufspunkten der auf E n _T... 
gefällten Senkrechten und lasse sie Kanten des neuen Polyeders 
sein u. s. w. Für das so gefundene Polyeder mögen den oben 
eingeführten Zahlen a 0 , ai...a n —i die Zahlen c 0 , c x ... c n _i und 
den Zahlen b*/ die Zahlen d*/ entsprechen; so möge das neue 
Polyeder c 0 Ecken, Ci Kanten u. s. w. besitzen, und für / * 
mögen d*/ Grenzgebilde von x Dimensionen in einem /-dimen 
sionalen Grenzgebilde zusammenstofsen; dann ist: 
(7) C/. = a n _i—a, d*A = b n _i_-* n j /. 
g) »Für jede Zahl n von Dimensionen giebt es mindestens 
drei Arten von regelmäfsigen Körpern.« 
Die charakteristischen Zahlen für jede Art sind in folgender 
Tabelle zusammengestellt: