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Dritter Abschnitt. § 13. 
dieselbe Konstruktion. Nachdem man durch die Festsetzung 
0„_ 2 0 n -i = iOn~2A„_ l zum Punkte O n _! gekommen ist, errichte 
man in der zweidimensionalen Ebene, zu der man gelangt ist, 
auf O n iO n —2 in O n _j die Senkrechte, welche die K x in zwei 
Punkten A„ und A n+l trifft. 
II. Man gehe von einem Quadrat A 1 A 2 A 3 A l aus, errichte 
in Ai eine Senkrechte AiA;, auf A t A 2 und A t A 4 , mache sie 
gleich A 4 A 2 , und ziehe A 2 A e , A 3 A 7 , A 4 A 8 gleich und parallel 
zu AjA 5 . Dann wird ein dreidimensionales Polyeder erhalten 
durch die Gesamtheit derjenigen geraden Strecken, welche von 
den Punkten des Quadrats aus in gleicher Richtung und in gleicher 
Gröfse mit A 7 A 5 gezogen werden können, ln A! errichte man 
eine Senkrechte auf A t A 2 , AiA 4 , A x A=,, nenne sie AiA.) und 
mache sie gleich A t A 2 . Jetzt lasse manA 2 A 10 , A 3 An , ..A 8 A ie 
dieser Strecke gleich und parallel sein. Auf diese Weise kann 
man iortfahren, bis man einen n-dimensionalen Körper erhält. 
Man kann auch im n - dimensionalen Raume durch einen 
Punkt 0 n gerade Linien ziehen, von denen jede auf jeder andern 
senkrecht steht. Auf diesen Linjen trägt man n gleiche Strecken 
OA t = OA 2 = .. . = OA M ab, und verlängert jede Strecke OA* 
über O um OA* = OA*. Dann lege man durch A* die E n _i*, 
welche auf OA* senkrecht steht, und ebenso durch A*' die 
(n—1)-dimensionale Ebene F n _j*, welche auf OA* senkrecht 
steht. Dann schliefsen die 2n Ebenen einen regelmäfsigen Körper 
ein. Denn dreht man die Figur um O, so dafs die Strahlen 
OA* und OA* in ihrer Gesamtheit zur Deckung der Anfangs 
lage kommt, so wird auch der Körper seine Anfangslage decken, 
jede Ebene E n _^ wird von allen übrigen Ebenen mit Ausnahme 
von F,,-!* geschnitten; demnach liefern die 2n Ebenen 2(n—l)n 
Grenzgebilde von n 2 Dimensionen. In einem /-dimensionalen 
Grenzgebilde treffen sich n — / Ebenen von n — 1 Dimensionen; 
um alle zu erhalten, mufs man also zusehen, wie oft man aus 
den n Paaren n — l Paare auswählen kann, und dann hat man 
aus jedem Paare eine Ebene auszuwählen; somit ist a;. = 
^ • In jedem Eckpunkt können nicht zwei Ebenen des 
selben Paares zusammenstofsen; da aber mindestens n Ebenen 
sich in einem Eckpunkt treffen müssen, geht durch jeden Eckpunkt