Der mehrdimensionale Raum. 
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eine Ebene aus jedem Paare. Die Zahlen b** für / >* ergeben 
sich aus den Formeln für a*, indem man n durch / ersetzt, da 
in der /-dimensionalen Ebene ein Gebilde derselben Art liegt. 
Dann ergeben sich die bi* aus (6) oder auch durch eine ein 
fache Überlegung. 
IIL Man lasse wieder in einem Punkte O n gerade Linien 
auf einander senkrecht stehen und schneide auf jeder von O aus 
gleiche Strecken OA t =OA x ' =OA 2 = OA 2 , = ... = OA n = OA n ' 
ab. Aus jedem Punktepaar A¿A/ für /=/... n wähle man einen 
Punkt aus und lege durch sie eine (n—1)-dimensionale Ebene. 
Die (n — 2)-dimensionalen Grenzgebilde sollen durch n— I Punkte 
gehen, welche verschiedenen Paaren angehören. Endlich werden 
die Kanten erhalten, indem man den Punkt Ai mit je einem der 
Punkte Ai, Ai ... Ai__i, Ai_f, A i+] , A i+1 '... A n , A n ' verbindet. 
Dafs hierbei die in der Tabelle angegebenen Zahlen hervorgehen, 
zeigt man auf dem in II angegebenen Wege, indem man nur 
jedesmal Ebene und Punkt vertauscht. 
Wenn ein derartiges Polyeder von n— 1 Dimensionen gegeben 
ist, so errichte man im Mittelpunkte die Senkrechte auf der Ebene 
des Polyeders und mache sie beiderseits gleich dessen halber 
Diagonale. Indem man jeden Eckpunkt dieser Senkrechten zur 
Spitze einer Pyramide wählt, deren Grundgebilde das gegebene 
Polyeder ist, erhält man das entsprechende regelmäfsige Polyeder 
von n Dimensionen. Als Ecken treten die beiden Endpunkte der 
Senkrechten hinzu ; die Kanten vermehren sich um die doppelte 
Eckenzahl des gegebenen Polyeders. Zu den /i-dimensionalen 
Grenzgebilden des ersten Polyeders treten diejenigen hinzu, welche 
durch je eine der neuen Ecken und je ein (/t—l)-dimensionales 
Grenzgebilde des gegebenen Polyeders gelegt werden können. 
Die Anzahl der (n - l)-dimensionalen Grenzgebilde ist gleich der 
doppelten Anzahl der (n—2)-fach ausgedehnten Grenzgebilde des 
ersten Polyeders. 
Das Polyeder I ist zu sich selbst, die Polyeder II und III 
sind zu einander reziprok. 
h) Im vierdimensionalen Raume sind die dreidimensionalen 
Grenzgebilde regelmäfsige Polyeder von drei Dimensionen, deren 
es bekanntlich nur fünf giebt. Ebenso entsprechen die von einer 
Ecke ausgehenden Gebilde einem regelmäfsigen dreidimensionalen