Dritter Abschnitt. § 13. 
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Polyeder. Somit giebt es für die Zahlen b 0 3 , bi 3 , b 2 3 , sowie für 
die Zahlen bi°, b 2 °, b 3 ° nur je fünf Fälle. Mit jedem System 
der drei ersten Zahlen kann man aber höchstens drei Systeme 
der letzten Zahlen verbinden. Wähle ich z. B. b 0 3 =8, bj 3 = 12, 
b 2 3 = 6, so ist jede Fläche ein Quadrat, also b 0 2 — bi 2 = 4; ferner 
ist b 3 2 = b„ 1 = 2. Dann folgt aus a 2 b 3 2 = a 3 b 2 2 sofort a 2 = 3a 3 . 
Wegen der gewählten Werte von b 0 3 , b t 3 , b 2 3 ergiebt sich aus (G) : 
ko “ a ko ^ a ? 
ao “o 
ba° = 
ia 3 
somit mufs sein: 2b 2 ° = 3b 3 °. Diese Relation wird nur in drei 
Fällen erfüllt, nämlich 
1. für bi 0 = 4, b 2 ° = G, b 3 ° = 4, 
2. für bi 0 = b, b 2 ° = 12, b 3 °=8, 
3. für bi 0 = 12, b 2 ° = 30, b 3 0 = 20. 
Wird aber gewählt b () 3 = 6, bi 3 = 12, b 2 3 = 8, so ist 
bi 2 = b 1 2 ==3. Dann folgt a 2 =4a 3 , also b 2 °=2b 3 °, was nur 
eintritt für bt° = 8, b 2 °=12, b 3 °=G. 
In ähnlicher Weise verfährt man mit den andern Arten von 
regelmäfsigen dreidimensionalen Polyedern. Dadurch werden 
bereits 14 Fälle als unmöglich ausgeschieden; die übrigen elf, 
welche auch noch einzeln in Bezug aut ihre Möglichkeit unter 
sucht werden müssen, sind in folgender Tabelle zusammengestellt; 
I. 
H.j 
b 3 0 
4 
4 
bl 3 
6 
G 
b 2 2 
4 
4 
bo 2 = b t 2 
3 
3 
b 2 1 = b 3 1 
3 
4 
bi° 
4 
G 
b 2 ° 
6 
12 
b«° 
4 
8 
ai :a 0 
2 
3 
a 2 : a.-> 
2 
4 
a 3 : a 0 
1 
2 
III. IV. 
V. 
VI.IVII. 
! 
VIII.IX. 
X. 
XI. 
4 
8 
8 
8 
G 
12 
20 
20! 20 
6 
12 
12 
12 
12 
30 
30 
30 
30 
4 
6 
G 
6 
8 
20 
12 
12 
12 
3 
4 
4 
4 
3 
3 
5 
5 
5 
5 
3 
4 
5 
3 
3 
3 
4 
5 
12 
4 
G 
12 
8 
20 
4 
6 
12 
30 
6 
12 
30 
12 
30 
G 
12 
30 
20 
4 
8 
20 
G 
12 
4 
8 
20 
G 
2 
3 
G 
4 
10 
2 
3 
G 
10 
3 
2 
3 
1 5 
2 
4 
10 
.6 
O 
u 
0 
6 
5 
i 
1. 
2 
1 
5 
Y 
1 
1 
j 
9 
T 
1