Der mehrdimensionale Raum. 
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Dem ersten, zweiten und vierten Falle entsprechen diejenigen 
drei regelmäßigen Körper, welche in g) für eine beliebige Zahl 
von Dimensionen angegeben sind. Es sind das nach dem Aus 
drucke des Herrn Schlegel das Fünfzell (a 3 = a 0 =5, a 2 =a, = 10), 
das Sechzehnzell (a 3 = 16, a., =32, ai=24, a 0 = 8) und das 
Achtzell (a 3 = 8, a 2 =24, a t =32, a 0 =16). 
Dafs die Fälle V, VI, VIII, XI, XII keinen endlichen vier 
dimensionalen Körper bestimmen, beweist man, indem man von 
einem dreidimensionalen Grenzgebilde ausgeht, durch eine Kante 
eine zu ihr senkrechte dreidimensionale Ebene legt und zeigt, 
dafs höchstens drei Würfel, drei Dodekaeder und zwei Ikosaeder 
hindurchgelegt werden können. 
Es bleiben noch die Fälle III, VII und X zu untersuchen, 
von denen III und X zu einander, VII zu sich selbst reziprok 
ist. Um die Realität und Endlichkeit zu erkennen, setzt man an 
eine Ecke allmählich die andern Ecken oder an ein dreidimen 
sionales Polyeder die andern Polyeder an. Wie das ausgeführt 
werden kann, möge in den Originalarbeiten eingesehen werden. 
Da haben sich folgende Resultate ergeben: Im Falle III ist der 
Körper (Sechshundertzell) von 600 Tetraedern mit 1200 Drei 
ecken, 720 Kanten und 120 Ecken begrenzt. Zu diesem Polyeder 
reziprok ist das unter X angegebene, welches Hundertundzwanzig- 
zell genannt wird und als Grenzgebilde 120 Dodekaeder, 720 
Fünfecke, 1200 Kanten und 600 Ecken enthält. Endlich liefert der 
Fall VII das Vierundzwanzigzell mit 24 Oktaedern, 96 Dreiecken, 
96 Kanten und 24 Ecken. 
Zu dem Vierundzwanzigzell kann man noch auf einem andern 
Wege gelangen, den wir hier mitteilen wollen, weil er sehr 
geeignet ist, die gegenseitige Lage der einzelnen Grenzgebilde 
deutlich hervortreten zu lassen. 
Wir gehen von einem Sechzehnzell aus mit den acht Eck- 
aibx Cx 
a 2 b 2 c 2 
punkten 
unter einander stehenden Punkte 
Gegenpunkte von einander sind. Jedes der sechzehn Grenz 
tetraeder geht durch vier Punkte a«, hß, cy, dj, wo jede der 
Marken gleich 1 oder 2 ist. Demnach ist jedes Tetraeder durch 
die vier Marken a, ß, y, 4 bestimmt und soll deshalb mit (a/ty4) 
bezeichnet werden. Um den Mittelpunkt des Sechzehnzells