254 
Dritter Abschnitt. § 13. 
beschreibe ich eine Kugel, welche durch die acht Ecken geht; 
zudem errichte ich auf jeder Ebene (aßyS) nach aufsen die Senk 
rechte. Diese trifft die Kugel in einem Punkte, welcher eben 
falls durch {tcßyty bezeichnet werden soll. Ich setze noch fest, 
dals «ff- «' = ß ff- ß' — y ff- y'—d ff- 6' = 3 sein soll. Dann sind 
die Ebenen («ß/d) und (u'ß'y’S 1 ') parallel und deshalb die ent 
sprechenden Punkte Gegenpunkte auf der Kugel. 
Jede neue Lage, bei welcher das Sechzehnzell als Ganzes 
die Anfangslage deckt, kann erhalten werden durch ein- oder 
mehrmalige Drehung um eine durch zwei Durchmesser (etwa 
aaaft'b^b^') gelegte zweidimensionale Ebene. Bei einmaliger 
Drehung bleiben zwei Paare von Marken ungeändert. Zwei andere 
Marken vertauschen sich unter einander oder paarweise mit ihren 
Ergänzungsmarken. Entsprechendes muis für jede Bewegung 
gelten, bei der das gegebene Sechzehnzell wieder in seine Anfangs 
lage kommt. Dabei kann also die Ebene (1, 1, 1, 1) auf die 
Ebenen (1, 1, 2, 2), (1, 2, 1, 2), (1, 2, 2, 1), (2, 1, 1, 2), 
(2, 1, 2, 1), (2, 2, 1, 1), (2, 2, 2, 2) zu liegen kommen, aber 
nicht zur Deckung mit (1, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 1), (1, 2, 1, 1), 
(2, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 2), (2, 1, 2, 2), (2, 2, 1, 2), (2, 2, 2, 1). 
Dabei vertauschen nur jedesmal die ersten acht Ebenen und ebenso 
die letzten acht Ebenen ihre Lage unter einander. Dasselbe gilt 
von den Punkten («, ß, y, d). Die sechzehn neu gefundenen 
Punkte zerfallen also in zwei Gruppen von je acht Punkten; nur 
die Punkte derselben Gruppe können ihre Lage unter einander 
vertauschen. Die Punkte einer Gruppe sind somit jedesmal die 
Eckpunkte eines regelmäfsigen Sechzehnzells. Wir sind daher zu 
drei Sechzehnzellen gelangt. 
Jede Bewegung des ersten Sechzehnzells, durch welche das 
selbe mit sich zur Deckung gelangt, hat eine entsprechende Be 
wegung der beiden andern zur Folge. Da aber die Zahl solcher 
Bewegungen für die drei Körper dieselbe ist und bei jeder Be 
wegung des einen die andern mitbewegt werden, so mufs auch 
bei jeder derartigen Bewegung des zweiten das erste und das 
dritte jedesmal wieder in die Anfangslage gelangen. Errichtet 
man daher auf den Tetraedern des zweiten Sechzehnzells die 
Senkrechten, so gehen acht von ihnen durch die Ecken des ersten 
und die acht andern durch die des dritten Sechzehnzells. Dasselbe