Der mehrdimensionale Raum. 
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gilt für den dritten Körper. Die vierundzwanzig Punkte bilden 
also auf der Kugel ein regelmäfsiges System, also die Ecken eines 
regelmäfsigen Körpers. 
In diesem Körper gehen von a^ die Kanten nach denjenigen 
acht Punkten, welche den in ihm zusammenstofsenden Tetraedern 
entsprechen, also nach («, 1,1,1), («, 1,1, 2), («, 1,2,1), («, 2,1,1), 
(«, 2, 2, 1), («, 2, 1, 1), («, I, 2, 2), («,2,2,2). Diese zerfallen 
in vier Paare («, 1, 1, 1), («, 2, 2, 2) und («, 1, 2, 2), 
(«, 2, 1, 1), sowie («, 1, 1, 2), («, 2, 2, 1), endlich («,1,2, 1), 
(«, 2, 1, 2). Dadurch werden wir auf zwölf Dreiecke und sechs 
Oktaeder geführt, welche vom Punkte a« ausgehen; in den 
letzteren sind die Punkte b l5 b 2 , c u c 2 , d t , d 2 die Gegenpunkte; 
ein solches Oktaeder hat z. B. die Eckpunkte a«, b l3 («, 1, 1, 1), 
(«, 1, 1, 2), («, 1, 2, 1), («, 1, 2, 2). Das giebt den Satz: 
»Im vierdimensionalen Raume giebt es einen regelmäfsigen Körper, 
welcher von 24 Oktaedern begrenzt wird und dessen Grenze 
96 Dreiecke, 96 Kanten und 24 Ecken enthält. Von jeder Ecke 
gehen sechs Oktaeder aus; sucht man zu einer Ecke in jedem 
davon ausgehenden Oktaeder den Gegenpunkt, so bilden diese 
sechs Punkte auch die Gegenpunkte für die von einem zweiten 
Punkte ausgehenden sechs Oktaeder, und zwar ist dieser Punkt 
im Vierundzwanzigzell Gegenpunkt des ersten. Die so gefun 
denen acht Punkte bilden für sich die Ecken eines regelmäfsigen 
Sechzehnzells; je zwei Ecken, die in diesem Sechzehnzell Gegen 
punkte von einander sind, haben die gleiche Eigenschaft für das 
Vierundzwanzigzell; die andern sechs Punkte sind Gegenpunkte 
in Bezug auf jeden der beiden ersten in je einem Oktaeder, 
welches der Grenze des Vierundzwanzigzells angehört.« 
Statt von dem Sechzehnzell konnten wir auch vom Achtzell 
(dem Analogon des Würfels) ausgehen, wie man schon daraus 
ersieht, dafs die sechzehn Punkte («, ß, y, 4) die Ecken eines 
Achtzells sind. 3fi ) 
§ 14. 
Geometrische Grundlage des n-dimensionalen Raumes. 
In den drei letzten Paragraphen ist die Beweisführung ganz 
übereinstimmend mit der der gewöhnlichen Geometrie; auch die 
neu erhaltenen Sätze zeigen bis ins einzelne eine unverkennbare