Dritter Abschnitt. 
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Ähnlichkeit mit rein geometrischen Sätzen. Daher vergifst man 
ganz, dafs das Objekt der Untersuchung in einem analytischen 
Gebilde, der n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit besteht. Es 
drängt sich somit die Frage auf, ob wir für diese Theorie nicht 
auch eine rein geometrische Grundlage gewinnen können. Um 
dieser Frage näher treten zu können, greifen wir auf die Dar 
legungen in den ersten Paragraphen dieses Abschnitts zurück. 
Wie die Erfahrung lehrt, gelten folgende Gesetze: Wenn 
man einen Raumteil in zwei Teile zerlegt, so wird die gegen 
seitige Grenze durch eine Fläche oder durch mehrere Flächen 
gegeben; die Fläche kann wieder geteilt werden und die gegen 
seitige Grenze ist eine Linie oder besteht aus mehreren Linien; 
endlich kann die Linie wieder geteilt werden, und die Grenze 
wird durch einen oder durch mehrere Punkte gebildet; der Punkt 
ist unteilbar. Diese Sätze werden durch die Erfahrung mit vollster 
Sicherheit gegeben; wer sie leugnen will, setzt sich mit der Er 
fahrung in direkten Gegensatz. 
Aber trotzdem ist die Frage berechtigt: Verlangen die Be 
griffe der Teilung und der Grenze, die hier Vorkommen, dafs 
man gerade nach dreimaliger Ausführung des angegebenen Pro 
zesses zum unteilbaren Gebilde gelangt, oder darf man annehmen, 
dafs die hier auftretende Zahl drei mit jeder andern Zahl gleich 
berechtigt ist, wofern man vom Raum in seiner eigentlichen 
Bedeutung absieht und nur die Zerlegung in zwei Teile und die 
gegenseitige Grenze der beiden Teile berücksichtigt? Ehe wir 
hierauf eine endgültige Antwort geben, führen wir eine neue 
Bezeichnung ein. Wir gehen von irgend einem Gebilde aus, 
zerlegen es in zwei Teile und bezeichnen ihre gegenseitige Grenze 
als Grenzgebilde erster Ordnung. Wenn das Grenzgebilde wieder 
teilbar ist und irgend zwei Teile, in die es zerlegt werden kann, 
eine gegenseitige Grenze haben, so möge die neue Grenze ein 
Grenzgebilde zweiter Ordnung genannt werden. In gleicher 
Weise gehen wir weiter, bis wir zum unteilbaren Grenzgebilde 
gelangen. Für den Raum im wahren Sinne ist das Grenzgebilde 
erster Ordnung die Fläche, das Grenzgebilde zweiter Ordnung 
die Linie und die Grenze dritter Ordnung der Punkt. Nun könnte 
man fragen: Läfst sich der Teilung ein Gebilde zu Grunde legen, 
für das der anueeebene Prozefs niemals zum unteilbaren Grenzuebilde