2(!2 
Dritter Abschnitt. § 14. 
Zahl und in § 12 für die Vierzahl der Dimensionen weitere Fol 
gerungen gezogen auf einem Wege, der ganz mit dem in der 
Geometrie gebräuchlichen übereinstimmt. 
Um jedoch die nicht-euklidischen Raumformen einzuschliefsen, 
ersetzen wir die letzte Voraussetzung des § 11 (S. 218) durch 
die folgende: 
In einem allseitig begrenzten Bereich einer jeden dreidimen 
sionalen Ebene bestehen die Gesetze, welche Euklid für den 
Raum voraussetzt, natürlich mit Ausschlufs der Unendlichkeit der 
Geraden und des Parallel-Axioms. 
Hier wird also die Existenz der Geraden und der Ebenen 
von zwei bis n—1 Dimensionen ebenso vorausgesetzt, wie in 
der allgemeinen Projektivität, und die neu hinzukommende An 
nahme ermöglicht den Übergang zur Metrik. Übrigens kann man 
die letzte Voraussetzung durch das Postulat des Kreises ersetzen, 
oder man kann für gerade Strecken den Begriff der Gleichheit 
postulieren und annehmen, die Endpunkte gleicher Strecken, die 
in einer zweidimensionalen Ebene von einem Punkte ausgehen, 
lägen in einer geschlossenen Linie. 
In diesen Voraussetzungen tritt die Beziehung zur Analysis 
ganz zurück. Es erübrigt jetzt also nur noch, die analytischen 
Gesetze herzuleiten, von denen wir in § 8 für einen euklidischen 
und in § 9 für einen nicht-euklidischen Raum ausgegangen sind. 
Dabei gebraucht man diejenigen Formeln, die in den §§ 24 
und 25 des ersten Abschnitts (S. 80 ff.) und auf anderem Wege 
im zweiten Abschnitt hergeleitet sind. Wie wir dort gezeigt 
haben, gelten für das Dreikant stets die Formeln der sphärischen 
Trigonometrie, während die Beziehung zwischen den Seiten und 
Winkeln eines ebenen Dreiecks durch drei verschiedene Formel 
systeme angegeben wird, die man durch Einführung einer gewissen 
Konstanten k 2 einheitlich darstellen kann. 
Zudem bedarf man einige wenige von den in § 11 bewie 
senen Sätzen, namentlich diejenigen, durch welche der Winkel 
bestimmt wird, den eine Gerade mit einer (n — l)-dimensionalen 
Ebene bildet oder unter dem zwei derartige Ebenen zu einander 
geneigt sind. Nur ist es notwendig, diese Sätze ohne Anwendung 
der Parallelentheorie zu beweisen.