Der mehrdimensionale Raum. 
263 
Nach diesen Vorbereitungen ist es nicht schwer, eine ana 
lytische 1l heorie der so definierten Raumformen zu begründen^ 
Man lege durch einen festen Punkt O n auf einander senkrecht 
stehende (n—1)-dimensionale Ebenen E 1 , E 2 ...E n . Auf diese 
Ebenen seien von zwei beliebigen Punkten P und P' des Raumes 
Senkrechte gefällt; die n vom Punkte P ausgehenden Senkrechten 
seien mit a l3 a 2 ... a n bezeichnet, während vom Punkte P' die 
Senkrechten ah, a 2 '...a n ausgehen mögen. Der Winkel, den 
zwei von demselben Punkte ausgehende Gerade mit einander 
bilden, möge durch Nebeneinanderstellen der Linien bezeichnet 
werden. Die Längen OP und OP' seien 1 und 1' und der Winkel 
(11') sei gleich r/. Die Ebenen E 2 , E 3 .,.E n haben eine Gerade 
g gemeinschaftlich; der Neigungswinkel der zweidimensionalen 
Ebenen (gl) und (gl') sei <f \, und die von P und P' auf die 
Gerade g gefällten Senkrechten mögen mit h und l x ' bezeichnet 
werden. Dann gilt die Beziehung: 
COS (f — COS (lg) COS (lg ) -f- sin (lg) sin (lg') COS (fi. 
Da die Geraden g und a t auf der Ebene E 1 senkrecht stehen 
und deshalb in einer zweidimensionalen Ebene liegen, so ist der 
Winkel (lg) das Komplement des Neigungswinkels der Geraden 
1 gegen die Ebene E 1 ; somit ist unter Benutzung der früher ein 
geführten Gröfse k 2 : 
sin j cos (lg) — sin " 1 
Hiernach nimmt die vorstehende Gleichung die Form an: 
. a t . 
Sin k sin 
Eine durch h und g gelegte zweidimensionale Ebene schneidet 
die E 1 in einer Geraden, die auf g senkrecht steht. Auf der 
selben begrenze man ein Stück OPi und bezeichne es der 
Gröfse und Lage nach durch . Dann sind die von Pi auf die 
Ebenen E 2 , E 3 ...E n-1 gefällten Senkrechten gleich den ent 
sprechenden von P gefällten Senkrechten, also gleich a 2 , a 3 ...a„. 
Ebenso bestimme man in der Schnittlinie von E 1 mit der durch 
g und V gelegten zweidimensionalen Ebene einen Punkt PL so 
dafs die Strecke OP,', die mit bezeichnet werden möge, gleich 
V ist. Dann sind die Abstände des Punktes Pt' von den Ebenen 
H 2 , E 3 ...E n der Reihe nach gleich a 2 ', a 3 ’...a n , und die