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Dritter Abschnitt. § 14. 
(§ 7—10). Diese Ähnlichkeit in den Ergebnissen kann auch in 
der Beweisführung herbeigeführt werden (§ 11—13): man legt 
analytische Mannigfaltigkeiten zu Grunde, leitet aus einer ein 
fachen Voraussetzung durch Rechnung Folgerungen her, die be 
kannten geometrischen Sätzen entsprechen, und kann jetzt ein 
Beweisverfahren einschlagen, das voll und ganz mit der Methode 
der Geometrie übereinstimmt. So ist man einer Wissenschaft 
immer näher gekommen, die in übertragenem Sinne als Raum 
lehre bezeichnet werden kann. Es fragt sich nur, ob man sich 
nicht auch davon unabhängig machen kann, dafs der Gegenstand 
der Untersuchung und die Grundlagen, auf denen der Weiterbau 
möglich ist, durch die Analysis gegeben werden. Diese Frage 
haben wir in § 14 einer vorläufigen Prüfung unterzogen und sind 
einer rein geometrischen Grundlage wenigstens näher gekommen. 
Umgekehrt haben wir von gewissen geometrischen Sätzen aus 
analytische Formeln hergeleitet, vermittelst deren die Theorie der 
mehrdimensionalen Raumformen entwickelt werden kann. Hiernach 
liefert die Durchführung eines einfachen analytischen Prozesses 
alle Sätze des mehrdimensionalen Raumes; ein innerer Wider 
spruch ist also vollständig ausgeschlossen. 
Natürlich kann es nicht fehlen, dafs manche Sätze des drei 
dimensionalen Raumes bei ihrer Übertragung auf eine gröfsere 
Zahl von Dimensionen wesentliche Veränderungen erleiden; aber 
eine blofse Abweichung von bekannten Sätzen darf nicht als ein 
Beweis für die Unmöglichkeit einer mehrdimensionalen Geometrie 
angesehen werden. Auch die Geometrie von zwei Dimensionen 
ist in mancher Hinsicht von der des dreidimensionalen Raumes 
wesentlich verschieden; ich erinnere nur daran, dafs regelmäfsige 
Polygone von jeder Seitenzahl existieren, während die regelmäfsigen 
Körper nur in beschränkter Anzahl möglich sind. Es ist also 
nicht gestattet zu verlangen, dafs die geometrischen Lehren für 
jede Zahl von Dimensionen ungeändert bleiben. 37 ) 
Von mancher Seite ist grofses Gewicht auf die Thatsache 
gelegt worden, dafs durch den Erfahrungsraum selbst mehrdimen 
sionale Mannigfaltigkeiten geliefert werden, wofern man nicht 
den Punkt, sondern gewisse andere Gebilde als Elemente be 
trachtet. Wie mir scheint, ist die Bedeutung dieses Umstandes 
jedoch vielfach überschätzt worden. Wenn man z. B. geglaubt