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Vierter Abschnitt. § 1. 
Um die letztere Behauptung zu beweisen, rolle man den 
Kegelmantel auf die Ebene ab; dann bedecke er das Winkelfeld 
X 0 SXi (= fi = 2n sin <f, wenn y> den Winkel bezeichnet, unter 
welchem jede Kante zur Achse geneigt ist). Wofern dieses 
Winkelfeld kleiner ist als zwei Rechte (oder mit andern Worten, 
wenn (f 30°), so mufs jede in demselben gezogene Gerade 
mindestens einen Schenkel treffen. Nun werde der Schenkel SX 0 
in A 0 unter dem Winkel « getroffen, und zwar möge « der 
Winkel sein, den der nach A 0 verlaufende Teil der Geraden mit 
A () X 0 bildet. Dann mache man auf SX t die Strecke SAj = SA 0 
und lege an SA t in A x den Winkel u im gegebenen Winkelfelde 
an. Sein zweiter Schenkel stellt die Fortsetzung der geodätischen 
Linie dar und trifft den Schenkel SX 0 in einem Punkte A 0 ' 
unter dem Winkel (i -f- «, wofern fx -j- « <C n ist. So geht es 
nach beiden Richtungen fort; die Abbildung einer jeden geodä 
tischen Linie setzt sich, wofern fx <f rc ist, aus zwei Halbgeraden 
zusammen, zu denen noch einzelne gerade Strecken treten können. 
Indessen kommt diese Eigenschaft nicht allen Kegelflächen 
zu. Wir müssen daher untersuchen, ob nicht diese Flächen 
sämtlich in wesentlichen Punkten von der Ebene abweichen. Zu 
dem Ende grenzen wir ein einfach zusammenhängendes Stück, 
das den Scheitel nicht enthält, ganz beliebig ab; d. h. wir be 
trachten einen Flächenteil, der von einer einzigen geschlossenen 
Linie (ohne Doppelpunkte) begrenzt wird. Jedes solche Stück 
hat bekanntlich alle Eigenschaften einer ebenen Fläche: durch je 
zwei Punkte desselben läfst sich eine, und zwar eine einzige 
kürzeste Linie legen; die Summe der Winkel in jedem aus kür 
zesten Linien gebildeten Dreieck beträgt zwei Rechte u. s. w. 
Bei passender Wahl des Stückes läfst es sich um jeden seiner 
Punkte drehen, wofern man nur jedesmal eine entsprechende 
Biegung vornimmt. Verschieben wir diesen Teil auf dem Kegel 
mantel bei gleichzeitiger Biegung, so wird, falls wir uns vom 
Scheitel entfernen, die eindeutige Beziehung zwischen dem neuen 
und dem gegebenen Stück fortwährend bestehen bleiben; zugleich 
wird das neue Stück die Eigenschaften einer ebenen Fläche be 
halten. Nähern wir uns aber dem Scheitel, so wird der Fall 
eintreten, dafs der Kegelmantel von dem Flächenstück zum Teil 
mehrmals bedeckt wird. Punkte, welche vorher von einander