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Vierter Abschnitt. § 2. 
und ein ganzes Vielfache dieser Strecke ist, so existiert stets ein 
Cylinder, der so auf die Ebene abgewickelt werden kann, dafs 
jeder seiner Punkte auf »zu 
sammengehörige« Punkte der 
/ Ebene fällt. Dagegen ist die 
Schar der Geraden g, g'.. . für 
die Abbildung nicht charakte 
ristisch. Hätte man nämlich auf 
dem Cylinder eine Schraubenlinie 
gezogen, so würde diese durch 
eine Gerade h abgebildet, welche 
gegen a unter einem spitzen 
Winkel geneigt ist; die Fläche 
wird also jetzt durch den Streifen 
hh' abgebildet (Fig. 35). 
j c. j c 
Demnach können wir auch 
von der Cylinderfläche ganz 
k 3 K's 
absehen und nur die Ebene betrachten. Dann läfst sich das 
Schlufsresultat des vorigen Paragraphen in folgender Weise aus 
sprechen : 
Die Ebene kann auch dann als Raumform betrachtet werden, 
wenn man zwei Punkte als identisch ansieht, welche nach einer 
festen Richtung hin einen konstanten Abstand haben. 
Ist A ein Punkt der Ebene, so soll derjenige Punkt durch 
A m bezeichnet werden, für den die Gerade AA m der festen Rich 
tung parallel und die Länge AA m — ma ist. Ebenso setzen wir 
fest, dafs die Strecke BB n der Strecke a parallel und gleich na ist. 
Wählt man in der Ebene ein einfach begrenztes Stück, in 
welchem sich keine gerade Strecke von der Länge a ziehen läfst, 
so läfst sich dieses ganz beliebig in der Ebene bewegen, ohne 
dafs es zusammenfallende Punkte enthält. Für jeden solchen Teil 
gelten also die Gesetze einer zweidimensionalen euklidischen 
Raumform ohne jede Einschränkung. 
Wenn man die Ebene parallel in sich verschiebt, so möge 
der Punkt A auf B fallen; dann fällt jeder Punkt A ni auf einen 
Punkt B m , so dafs die Festsetzung über zusammenfallende Punkte 
sich nicht ändert. Die neue Raumform kann also auch durch 
Parallelverschiebung in sich bewegt werden. Dagegen ist es nicht