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Vierter Abschnitt. § 2.
Jede gerade Linie der Raumform wird in der Ebene wieder
durch eine Gerade abgebildet. Lassen wir dieselbe von A aus
gehen, so möge sie einen Punkt A¿/D treffen, und zwar müssen
hier ,« und v relative Primzahlen sein, wenn der Punkt Aunter
allen Punkten Ap° der erste sein soll, durch den die Gerade
von A aus wieder hindurchgeht. Dann ist die Gerade in der
abgebildeten Raumform geschlossen, und ihre Länge beträgt
Vf.1 2 a 2 -R V^b* -R 2/ivab coscf. Wenn ;i R> v ist, so schneidet das
Bild AA die Seite Ai AR in einem Punkte B, so dafs AiB: A } AR
— /i : v ist. Wählt man also in Ai AR einen Punkt B so, dafs
das Verhältnis AiB:AjAR irrational ist, so kann die Gerade AB
durch keinen Punkt A/u v hindurchgehen; in der abgebildeten Raum
form erhalten wir daher eine unbegrenzte Gerade. Eine solche
Gerade wird jedem Punkte der Raumform unbegrenzt nahe kommen.
Davon überzeugt man sich sofort durch ihre Abbildung auf das
Parallelogramm A Ai ARA’. Hier möge die von A ausgehende
Gerade den Umfang des Parallelogramms zuerst (Fig. 37) etwa
in einem Punkte B der Seite
AjAR treffen. Man trage
AB’ auf AA' gleich AxB ab
und ziehe durch B die Paral
lele zu AB; diese treffe die
Begrenzung des Parallelo
gramms zuerst wieder in C.
Zwei auf einanderfolgende
Parallele haben den konstanten Abstand m; solcher müssen un
endlich viele in das Parallelogramm gezeichnet werden; daher
kommt man jedem Punkte unendlich nahe. Eine ungefähre Über
sicht erlangt man durch die nebenstehende Figur.
Um eine Raumform der bezeichneten Art zu erhalten, nehme
man x x , x 2 , x 3 , x 4 als die rechtwinkligen Koordinaten in einer
vierdimensionalen euklidischen Raumform an. Eine gewisse Fläche
wird durch die Gleichungen dargestellt:
u . u . v . . f»
X! — a cos , x 2 — a sin -, x 3 — b cos, , x 4 = b sin . ,
a a b b
wo a und b festgewählte Konstante, u und v veränderliche Gröfsen
sind. Wir betrachten u und v als die rechtwinkligen Cartesischen
Koordinaten in einer euklidischen Ebene, Dann entspricht jedem
