Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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e eines belie- 
/egung behält 
genschaft bei, 
Radius. Mag 
gleich setzen 
Winkel, oder 
ig des Kreises 
äfse. Gleiche 
Winkel, und nur solche, können zur Deckung gebracht werden. 
Man kann also aus denselben Gründen, wie in der euklidischen 
Ebene, auch auf einer solchen Fläche das Winkelfeld als Gröfse 
betrachten. Überhaupt kann man alle Sätze Euklids, bei denen 
er das Parallelaxiom nicht gebraucht, auf die vorliegende Fläche 
übertragen. Aber die weitere Untersuchung lehrt, dafs die Winkel 
summe für ein aus kürzesten Linien gebildetes Dreieck weniger 
als zwei Rechte beträgt. Dementsprechend gilt die Parallelen 
theorie nicht, vielmehr kann man durch jeden Punkt aufserhalb 
einer geodätischen Linie unendlich viele ziehen, welche die gege 
bene nicht treffen, wenn man die Linien auch noch so weit ver 
längert. Flierdurch kann man bewirken, dafs ein gestreckter 
Winkel ganz in das Feld eines Winkels killt, welcher kleiner ist 
als zwei Rechte. Wenn überhaupt die Scheitel zweier Winkel 
nicht zusammenfallen, so kann man ein Winkelfeld ganz in ein 
kleineres hineinlegen, so dafs es nur einen Teil des kleineren 
bildet. 
Der Beweis aller dieser Sätze kann hier nicht mitgeteilt 
werden; für denselben mufs namentlich auf die Arbeiten des 
Herrn Beltrami verwiesen werden. ,; ) 
§ 
Projektive Verschiebung einer Kreisfläche in sich. 
Die starre Bewegung des Raumes stellt sich analytisch dar 
als spezieller Fall der allgemeinen projektiven Umgestaltung. 
Letztere wird dadurch erhalten, dafs man die drei Koordinaten 
durch linear - gebrochene Funktionen mit demselben Nenner 
ersetzt. So ist die allgemeinste projektive Umgestaltung der Ebene 
durch die Gleichungen gegeben: 
. • n. x —|— b y —c a x -j- b y -(- c 
ax -j- by -j- c ^ ax -f- by -ff c ’ 
wo x und y die rechtwinkligen Koordinaten des gegebenen, 
x', y' die des entsprechenden Punktes bedeuten, während a, b, 
c, a', b', c', a , b , c" konstante Gröfsen, die Transformations- 
Koeffizienten, sind. 
Eine allgemeine Eigenschaft einer solchen Umgestaltung besteht 
darin, dafs alle geraden Linien wieder in Gerade verwandelt werden.