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Vierter Abschnitt. § 3. 
Linie, drei nicht in gerader Linie liegende Punkte durch eine 
einzige. Ebene verbunden werden. Ebenfalls kann man den Körper 
im Raume alle jene Bewegungen ausführen lassen, welche er- 
fahrungsgemäfs bei festen Körpern möglich sind; denn der Körper 
kann in keiner Lage zwei Punkte enthalten, deren Abstand gleich 
a wäre. 
Legen wir ein rechtwinkliges Koordinatens}^stem zu Grunde 
und nehmen wir an, der Punkt (x-j-a, y, z) falle mit dem 
Punkte (x, y, z) zusammen. Die Koordinaten des Punktes, welchen 
ein gegebener Punkt des Körpers in der Anfangslage einnimmt, 
mögen mit (x 0 , y 0 , z n ) bezeichnet werden; dagegen möge dieser 
Punkt während der Bewegung zur Zeit t die Koordinaten (x, y, z) 
haben. Dann können wir setzen: 
X = fpi (x 0 , y 0 , z 0 , t) 
y = ff 2 (xo, yo, Zo, t) 
Z = y 3 (x 0 , yo, Zo, t), 
wo (fi, (f 2 , <fz lineare Funktionen von x 0 , yo, z 0 sind, deren 
Koeffizienten Funktionen von t sind. Hierbei bleibt der Abstand 
zweier Punkte ungeändert. Sind also (x 0 ,y 0 , z 0 ) und (x 0 ', y 0 ', z 0 ') 
zwei Punkte, welche der Körper in der Anfangslage deckt, so 
mufs auch der Abstand der entsprechenden Punkte (x, y, z) und 
(x', y', z') kleiner sein als a. Somit wird ganz gewifs x' — x 
dem absoluten Betrage nach kleiner als a sein. Der Körper kann 
also unter der gemachten Annahme in gleicher Weise bewegt 
werden, wie im euklidischen Raume. 
Wir fragen uns jetzt, ob auch bei der gemachten Voraus 
setzung der Raum noch als Ganzes bewegt werden könne. Dazu 
ist notwendig und hinreichend, dafs die feste Richtung von a 
nicht geändert werde. Demnach darf man mit dem Raume jede 
Parallelverschiebung vornehmen und jede Drehung um eine Gerade, 
welche zu der festen Richtung parallel ist; natürlich darf man 
auch diese Bewegungen beliebig mit einander verbinden. Der 
Raum besitzt also vier Grade von Beweglichkeit, während jeder 
feste Körper sechsfach beweglich ist. Jede Drehung um eine 
Gerade, die zu der gegebenen Richtung nicht parallel ist, ver 
ändert die feste Richtung, kann also nicht mehr auf den Raum 
übertragen werden.