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Vierter Abschnitt. § 3. 
Ebene py — qz = 0, wo p und q von ;i und v ganz unabhängig 
sind. Hier geht durch jeden Punkt eine geschlossene Gerade, 
nämlich eine solche, welche der festen Richtung parallel ist; denn 
es läfst sich, wenn y und z dieser Gleichung genügen, der Wert 
von x noch ganz beliebig wählen. In diesem Falle geht durch 
die drei Punkte eine einzige Ebene und jede solche ist eine 
Raumform von der Art, wie sie im ersten Paragraphen durch 
die Oberfläche eines Cylinders dargestellt wurde. 
Jede Ebene der letzten Art zerlegt den Raum, eine jede der 
ersten Art aber nicht. Wir müssen dem Raum also mehrfachen 
Zusammenhang beilegen. 
Man kann aber auch mit der gegebenen Richtung eine zweite 
verbinden, nach welcher in einer bestimmten Entfernung die 
Punkte wiederum zusammenfallen sollen. Dann liegen alle die 
jenigen Punkte, welche mit einem gegebenen identisch sind, in 
derjenigen Ebene, welche die beiden festen Richtungen enthält, 
und bilden hierin die Eckpunkte von Parallelogrammen, wie sie 
in Figur 36 (S. 281) angegeben sind. Von jedem Punkte gehen 
unendlich viele geschlossene Gerade aus und alle diese liegen in 
der bezeichneten Ebene. Es giebt aber auch in dieser Ebene un 
endliche gerade Linien, wie im vorigen Paragraphen gezeigt ist. Nur 
in einer Ebene, welche dieser Schar angehört, gehen durch jeden 
Punkt unendlich viele geschlossene gerade Linien; es giebt aber auch 
Ebenen, in denen durch jeden Punkt nur eine einzige geschlossene 
Gerade geht; endlich kann man wieder Ebenen finden, deren 
sämtliche gerade Linien unendlich sind. Während ein Körper, 
dessen Dimensionen sämtlich unterhalb der Länge der kürzesten 
geraden Linie liegen müssen, eine sechsfache Unendlichkeit von 
Bewegungen zuläfst, wird der Raum als Ganzes nur die Parallel 
verschiebung, also eine dreifache Unendlichkeit von Bewegungen 
zulassen. 
Endlich kann man noch Punkte als zusammenfallend be 
trachten, die nach einer dritten Richtung hin eine gewisse Ent 
fernung haben. Man konstruiere ein Parallelepipedon und betrachte 
seine Eckpunkte als zusammenfallend. Dieser Parallelepipeda kann 
man unbegrenzt viele neben einander konstruieren oder, wie man 
sich ausdrückt, den Raum in lauter kongruente derartige Körper 
zerlegen. Die Eckpunkte sollen mit (A, ¡x, r) für beliebige ganze