Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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Zahlen A, /t, v bezeichnet werden. Dabei gehen wir von einem 
Punkte (0, 0, 0) aus und erhalten den Punkt ([X, 0, 0), indem 
wir durch den Punkt (0, 0, 0) die Parallele zur ersten Richtung 
ziehen und hierauf die zur ersten Richtung gehörige Länge ¿-mal 
abtragen; indem wir die zu den drei Richtungen gehörigen Längen 
der Reihe nach mit a, b, c bezeichnen, soll die Länge Aa abge 
tragen werden. Dann wird der Punkt (A, /t, 0) erhalten, indem 
man durch (A, 0, 0) die Parallele zur zweiten Richtung zieht 
und auf ihr die Länge /ab abträgt. Endlich kommt man zum 
Punkte (A, fx, r), indem man vom Punkte (A, fx, 0) aus die 
Länge vc nach der dritten Richtung hin abträgt. Dabei entspricht 
einem negativen Vorzeichen die entgegengesetzte Richtung. 
Eine gerade Linie, welche vom Punkte (0, 0, 0) ausgeht, 
ist geschlossen, wenn sie noch durch einen Punkt (A, ¡u % v) 
hindurchgeht; dann mufs sie auch für jedes ganzzahlige x jeden 
Punkt (xX, x/x, xr) enthalten. Geht eine Ebene, welche den 
Punkt (0, 0, 0) enthält, durch zwei Punkte (A, /t, i) und 
(A', /x', r'), wo die Determinanten /uv' — ¡x'v, vX'— v'X, A/t'—A'/t 
nicht sämtlich verschwinden, so ist sie selbst endlich und stellt 
eine Raumform dar, wie sie im zweiten Abschnitt des vorigen 
Paragraphen untersucht ist. Es ist aber auch möglich, dafs eine 
vom Punkte (0, 0, 0) ausgehende Ebene nur die Punkte (xA, 
x/t, xr) für ein beliebiges ganzzahliges x enthält, und endlich ist es 
möglich, dafs sie durch keinen Punkt (A, /t, r) hindurchgeht. 
Demnach giebt es hier drei Arten von Ebenen. 
§ 4. 
Allgemeine Begründung der neuen Raumformen. 
Für die Bewegung eines starren Körpers gelten die allge 
meinen Gesetze: 
I. Wenn ein Körper zu irgend einer Zeit den früheren Raum 
eines zweiten Körpers deckt, so kann er zur Deckung mit jedem 
Raume gebracht werden, welchen der zweite zu irgend einer 
Zeit einnimmt. 
II. Jeder Körper kann so bewegt werden, dafs einer seiner 
Punkte zur Deckung mit einem beliebigen Punkte des Raumes 
gelangt. 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 10