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Vierter Abschnitt. § 4, 
Körper vermittelte Bewegung unabhängig sei von den vermittelnden 
Körpern, ist keineswegs notwendig; vielmehr hat uns der vorige 
Paragraph bereits Raumformen kennen gelehrt, in denen diese 
Annahme nicht mehr allgemein gemacht werden kann. Wir 
wählen die einfachste unter den dort betrachteten Raumformen, 
nämlich diejenige, in welcher der Punkt (x-fa, y, z) mit dem 
Punkte (x, y, z) identisch ist, während keine hiervon unabhängige 
Substitution das Zusammenfallen von Punkten anzeigt. 
Um den Beweis zu führen, teilen wir die Strecke der X-Achse 
von 0 bis a in p gleiche Teile und nehmen jeden Teil zur Achse 
eines geraden Kreis-Cylinders mit einem konstanten Radius; die 
einzelnen Cylinder mögen mit 0, 1, 2 ... p — 1 bezeichnet werden. 
Den ersten Cylinder (0) lassen wir eine Drehung um die Y-Achse 
ausführen. Da die Cylinder 0 und 1, 1 und 2...0 — 1 und o 
(für ö <f q) je Zusammenhängen, so wird die durch diese Körper 
vermittelte Bewegung des Cylinders ö erhalten, indem man in 
die Gleichungen 
x = x cos t — z sin t 
(0 y' = y 
z' = x sin t -f- z cos t 
für x die Werte zwischen -a und °^~^a einsetzt, während y 
Q O 
und z von o unabhängige Werte erhalten. 
Nun teile man die Strecke zwischen (0, 0, 0) und (— a, 0, 0) 
in p gleiche Teile und denke auch um diese Linie Cylinder der 
angegebenen Art gelegt, welche mit — 1, — 2 . .. — p bezeichnet 
werden mögen. Dann ist der Cylinder — t identisch mit dem 
Cylinder p— t, also (ö) identisch mit (—£-)-(?). Man erhält 
also eine zweite Verbindung der Körper (0) und (ö) durch die 
Körper (—1), (—2)... (— p + ö-j- 1). Die hierdurch ver 
mittelte Bewegung erhält man aber, wenn man in die Gleichungen 
. , . ,. — p —o —j— 1 , — p —|— ci 
(I) für x die Werte zwischen —-— 1 a und a em- 
ö Q 
setzt. Diese Bewegungen sind aber in der That von einander 
verschieden. 
Wir müssen also die Voraussetzung zulassen, dafs, wofern 
man von einer bestimmten Bewegung eines festen Körpers ausgeht 
und einem zweiten Körper durch Vermittlung anderer eine