Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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Bewegung zuordnet, diese letztere von der Wahl der vermittelnden 
Körper abhängig ist. Um diese Voraussetzung auf eine andere 
Form zu bringen, gehen wir wieder auf die beiden oben be 
trachteten Reihen K 1? K 2 , K 3 ... K s _,, K s und K t , K*', K 3 '...K P ', 
K s zurück, und nehmen jetzt an, die erste Reihe vermittle bei 
derselben Bewegung von Kji für K s eine andere Bewegung als 
die zweite. Jetzt betrachten wir die geschlossene Reihe KiK 2 
K 3 .. .Ks^KsKp'.. .K 3 'K 2 , K 1 . Da je zwei auf einander folgende 
Körper festen Zusammenhang haben, so wird man vermittelst 
dieser Reihe dem Körper K t eine Bewegung zuordnen. Diese 
zweite Bewegung mufs aber von der ersten verschieden sein; 
wäre sie nämlich mit der ersten identisch, so würde auch für 
K 2 ' sich dieselbe Bewegung aus der Reihe ^Kjj ... K S K P '... K 2 
wie aus der direkten Verbindung mit K t ergeben, und daraus 
würde folgen, dafs die beiden Reihen K x K 2 .. . K s _! und K! K 2 '... K p ' 
tür K s dieselbe Bewegung vermitteln. Die oben angegebene 
Voraussetzung kommt also auf die folgende hinaus: es mufs 
möglich sein, eine Reihe von Körpern K 1? K 2 , K 3 ...K t _i, K t , 
wo K t mit Kj identisch ist, so zu bestimmen, dafs je zwei auf 
einander folgende Zusammenhängen und dafs die durch diese 
Reihe für K t vermittelte Bewegung von der dem K x bei ge 
legten verschieden ist. 
Auch hierfür liefert die vorhin gewählte Raumform ein 
passendes Beispiel. Die oben mit (0), (1), (2) ...((>) bezeich- 
neten Körper bilden eine Reihe, wie wir sie so eben betrachtet 
haben, worin je zwei auf einander folgende Körper Zusammen 
hängen und worin der letzte Körper mit dem ersten identisch 
ist. Die Bewegung, welche dem Körper (0) anfangs beigelegt 
wird, möge erhalten werden, indem man in die Gleichungen (1) 
lür x die Werte zwischen 0 und -a einsetzt. Um die durch die 
Einschiebung vermittelte Bewegung analytisch darzustellen, hat 
man der Variabein x die Werte zwischen a und 
e+i 
Q 
a zu geben. 
Diese beiden Bewegungen sind aber von einander verschieden. 
Jetzt kann man sich von der Wahl der vermittelnden Körper 
in etwa unabhängig machen. Sind zwei Körper Ki und K t ge 
geben, (wo K t auch mit K x identisch sein kann), so ziehe man