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Vierter Abschnitt. § 4. 
einen Linienzug von einem Punkte von K L nach einem Punkte 
von K t und setze fest, dafs er in der Richtung von Kt nach K t 
durchlaufen werden soll. Dieser Linienzug kann ganz beliebig 
sein und sich öfters schneiden; nur mufs in jedem mehrmals 
durchlaufenen Punkte die Richtung des weiteren Fortschreitens 
fest bestimmt sein. Man zerlege ihn in hinreichend kleine Teile 
h, l 2 ...lj, 1 i_|_i... 1 1 i, h- Für jeden Teil bestimmt man einen 
Körper Ki, welcher den ganzen Teil h der Linie enthält; die 
Wahl mufs so getroffen werden, dafs für jedes i die zwei auf 
einander folgenden Körper Ki und Ki +1 als Teile eines einzigen 
Körpers angesehen werden können. Dieser Linienzug sei auf 
andere Weise in die Teile: IT, 1 2 .. .l s ' zerlegt und nach denselben 
Bestimmungen seien die Körper KR, K 2 '...K S _ 1 ', K s ' einge 
schoben, wo K s ' und K t als identisch angesehen werden mögen. 
Dann übersieht man unmittelbar, dafs die auf die zweite Weise 
vermittelte Bewegung jedesmal dieselbe ist, von welcher Bewegung 
des Körpers Ki man auch ausgehen mag. Dasselbe gilt von den 
einzelnen Körpern, welche an irgend einer andern Stelle der Linie 
angebracht werden; die Linie selbst, die Richtung, in der sie 
durchlaufen wird, und die Strecke, welche man auf ihr zurück 
gelegt hat, bestimmen durchaus eindeutig die Bewegung für jeden 
Körper, welcher das Ende der gewählten Strecke deckt. Ordnen 
wir also jedem Teile des Raumes, der in einer gewissen Um 
gebung des Linienzuges liegt, diejenige Transformation zu, durch 
welche die Bewegung eines in ihm enthaltenen Körpers bestimmt 
wird, so wird dadurch jedem Raumteil eine bestimmte Trans 
formation zugeordnet. Allerdings können dabei demselben Raum 
teile verschiedene Transformationen zugeordnet werden; aber 
dann kann man diese durch die zugehörigen Teile des Linien 
zuges unterscheiden. Somit darf man in uneigentlichem Sinne 
auch von einer durch den Linienzug bestimmten Bewegung des 
Raumteiles sprechen. 
Wenn eine gerade Linie durch denselben Punkt P zweimal 
hindurchgeht, sei es, dafs sie geschlossen ist oder sich selbst in 
diesem Punkte durchschneidet, so kann die Länge PP in keinem 
Körper verkommen; denn sonst müfste es möglich sein, dem 
Körper eine Lage zu geben, bei welcher verschiedene Punkte des 
Körpers denselben Punkt des Raumes decken, was nicht angeht.