Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
205 
Die Länge PP darf also nicht unter eine fest bestimmte Gröfse 
sinken, von welcher Stelle des Raumes man auch ausgeht und 
welche Gerade man auch wählt. Von dieser Bemerkung werden 
wir oit Gebrauch machen müssen. 
§ 5. 
Analytische Bestimmung der allgemein in sieh beweglichen 
Raumformen. 
Im Anschlufs an die §§ 24 und 25 des ersten Abschnitts 
und an die Ergebnisse des zweiten Abschnitts ist in § 14 des 
dritten Abschnitts gezeigt worden, dafs für einen gewissen end 
lichen Bereich, der in einem n-dimensionalen Raume passend 
abgegrenzt ist, sich nur drei Möglichkeiten ergeben und dafs jede 
von ihnen durch eine gewisse Konstante 1 : k 2 , welche als das 
Krümmungsmafs bezeichnet wird, charakterisiert werden kann. 
Dann ist es möglich, innerhalb dieses Bereiches die Lage eines 
jeden Punktes durch n Gröfsen (x t ... x n ), die Koordinaten, zu 
bestimmen, in dem Sinne, dafs jedem Punkte des Bereiches ein 
einziges Wertsystem und jedem hierbei erhaltenen Wertsystem 
ein einziger Punkt entspricht. Zu dem Zwecke konstruieren wir 
n Ebenen von n—1 -Dimensionen, welche sich in einem Punkte 
des Bereiches schneiden und auf einander senkrecht stehen, und 
fällen von dem zu bestimmenden Punkte die Senkrechten p x , 
p 2 . . . p n auf diese Ebenen. Für ein verschwindendes Krümmungs 
mafs nehmen wir die Längen dieser Senkrechten selbst zu Koor 
dinaten, bei einem endlichen Werte von k 2 aber die Funktionen 
k sin 
k 
Allerdings haben wir, um die Formeln mög 
lichst einfach zu machen, noch eine Gröfse 
aber diese ist eine Funktion der n übrigen, 
Xl 2 + x 2 2 + 
k 2 
+ X n 2 
x 0 hinzugefügt, 
nämlich gleich 
Es handelt sich jetzt darum, auch jedem andern Punkte des 
Raumes diejenigen Koordinaten zuzuordnen, welche den obigen 
Festsetzungen entsprechen. Wir könnten daran denken, die ein 
zelnen Koordinaten-Ebenen zunächst immer weiter auszudehnen 
und dann wieder die Senkrechten hierauf zu fällen. Aber abge