Vierter Abschnitt. § 5. 
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sehen davon, dais wir nicht von vorn herein beweisen können, 
dafs von jedem Punkte eine einzige Senkrechte auf eine Ebene 
gefällt werden kann, dieser Satz vielmehr nicht in voller Allge 
meinheit besteht, würden wir gezwungen sein, neue Annahmen 
zu machen, also das Prinzip verlassen, nach welchem es geboten 
erscheint, die Axiome auf die geringste Zahl zurückzuführen. 
Auch in der Praxis gelingt es meistens nicht, die Senkrechten 
unmittelbar zu messen; vielmehr ist es bei gröfseren Entfernungen 
notwendig, die Koordinaten auf einem indirekten Wege zu be 
stimmen. 
Wir suchen also nach Merkmalen, welche uns erkennen 
lassen, dafs die für neue Punkte erhaltenen Koordinaten als Fort 
setzung der früheren gelten können. Dazu ist an erster Stelle 
die Stetigkeit notwendig; d. h. wenn Punkte eine stetige Mannig 
faltigkeit im Raume bilden, so müssen ihre Koordinaten auch 
eine stetige Mannigfaltigkeit von Wertsystemen bilden. Diese 
Bedingung allein genügt aber nicht; vielmehr mufs eine zweite 
hinzutreten, in welcher die erste schon eingeschlossen ist. Man 
lasse einen Körper Kj, welcher in der Ruhelage dem zuerst be 
trachteten Raumteile angehört, eine gewisse Bewegung machen; 
durch Vermittlung der Körper K 2 , K 3 . .. K s _! sei man zu einem 
Körper K s gelangt und habe den sämtlichen Punkten, welche von 
K 2 , Ka-.-Ks—i, K s in der Ruhelage gedeckt werden, Koordinaten 
zugeordnet. Läfst man eine Bewegung machen, so werden 
seine Koordinaten Veränderungen unterworfen, welche durch 
gewisse lineare Gleichungen angegeben werden; dann soll die 
hierdurch für K 2 , K s . .. K s _,, K s hergeleitete Bewegung ana 
lytisch dadurch ausgedrückt werden, dafs man die für K, (i = 2.. .s) 
aufgestellten Koordinaten in dieselben Gleichungen einsetzt. Wir 
wollen zeigen, dafs eine solche Zuordnung allgemein möglich ist. 
Nur mufs vorläufig die Frage unerörtert bleiben, ob demselben 
Punkte nicht verschiedene Koordinatenwerte entsprechen können. 
Am übersichtlichsten läfst sich diese Aufgabe für ein ver 
schwindendes Kümmungsmafs lösen. Man gehe von einem Körper 
aus, der in seinem Innern den Anfangspunkt enthält. Zu allen 
Punkten, welche der Körper in der Ruhelage deckt, mögen die 
Koordinaten bestimmt sein, und jedem so erhaltenen Wertsystem 
(x x ... x n ) soll nur ein einziger Punkt entsprechen. Mit diesem