Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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geraden Linie 
o die x, X', ii 
:ion abhangen. 
vier Punkten 
) vier Punkte 
) umgeändert 
a", b", c" in 
nur von drei 
esamtheit der 
jendes System 
Xy 
(zr — ,u) ’ 
[, wenn rechts 
:hen u, v und 
cos t -j- n 
•) und (x', y ) 
jesetzt. Dabei 
f.i — ri) unge- 
rt ebener Geo- 
dischen Ebene 
>tig. Dagegen 
zu betrachten, 
tivisch so um- 
Deckung mit 
, welche wir 
on angegeben 
igkeit aus den 
; voraussetzen, 
iiebigen Innen- 
bei der Ruhe 
von Transfor- 
:te im Innern, 
zwei Punkten 
. a aus über b; 
dann ist das Doppelverhältnis j~- ; ^ stets positiv und gröiser 
ap aq 
bp ’ bq 
Transformation ungeändert; ferner ist diese Gröfse stets positiv 
und nähert sich unbegrenzt der Null, je näher a und b einander 
kommen, während sie unendlich wird, wenn einer der beiden 
Punkte auf den Kreis fällt. Wir fassen diese Gröfse als das 
Analogon zum Abstand der beiden Punkte a und b auf. 
Der Winkel, dessen Scheitel im Mittelpunkt des Kreises liegt, 
bleibt ungeändert bei jeder hier möglichen Transformation, welche 
den Mittelpunkt ungeändert läfst. Um den Winkel zweier anderen 
geraden Linien zu definieren, nehme man eine hier gestattete 
projektive Umgestaltung vor, welche den Schnittpunkt in den 
Mittelpunkt bringt. Den Winkel, welchen die jetzt erhaltenen 
Geraden einschliefsen, bezeichnet man als Winkel der gegebenen 
Geraden. Bei dieser Bedeutung bleibt der Winkel ungeändert, 
wenn man in irgend einer projektiven Weise das Kreisinnere in 
sich umgestaltet; und für den so definierten Winkel gelten auch 
die Gröfsensätze. 
Dadurch haben wir die Analoga zu allen durch die ersten 
Definitionen Euklids bestimmten ebenen Gebilden erhalten, und 
hierfür gelten seine Axiome und Postulate mit Ausnahme des 
fünften Postulats. Man beweist demnach auch die Kongruenz 
sätze für das Dreieck, sowie alle weiteren Sätze, bei denen die 
Parallelentheorie nicht benutzt wird. Speziell kann man in der 
oben angegebenen Weise zeigen, dafs die Summe der Winkel 
eines Dreiecks nicht gröfser sein kann als zwei Rechte. 
Dagegen kann die Parallelentheorie nicht bestehen bleiben. 
Durch jeden Punkt lassen sich unendlich viele Gerade ziehen, 
welche eine den Punkt nicht enthaltende gegebene Gerade im 
Innern des Kreises und somit für die hier geltende Anschauung 
überhaupt nicht treffen. Benutzen wir also den Legendreschen 
Satz, dafs, wenn die Winkelsumme eines Dreiecks zwei Rechte 
beträgt, dann auch durch jeden Punkt nur eine einzige nicht 
schneidende Gerade in der Ebene hindurchgeht, so folgt, dafs 
hier die Winkelsumme kleiner ist als zwei Rechte. 
Wir wollen wenigstens noch die einfachsten Formeln mitteilen. 
bei jeder hier gestatteten 
als eins. Demnach bleibt los