Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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sin k sm y 
■ c . ■ c . . a . 
sm r sm « = sm sm « — sm . sm y . 
k 
ist c — c, « -f- « = Tt, also sin ft = sin «, cos ct 
Dann folgt unmittelbar: 
a 
. ein cm 
k k 1 
Ferner ist: 
a b c . . b . c 
cos r = cos r cos r 4- sm r sm r cos a 
k k k k k 
b c' . b . c' 
— cos y cos, — sm y sm, cos « . 
Setzt man hierin für 
cos den Wert cos cos ~ + sin ^ sinf cos y 
k k k k k 
— cos «. 
und für 
• c , i t . b a . a b 
sm y cos a den W ert sm y cos y — sm y cos ^ cos y 
ein, so folgt unmittelbar: 
a 
k - ^ k 
a b-j-b a' . . b + b' . a' 
cos , = cos —i— cos . -f- sm . smcos y . 
Genau so leitet man die Gleichungen für cos y, cos y und 
cos y her. Diese Formeln genügen aber, um auch die weiteren 
Beziehungen zwischen a, a', b -f- b’, y, y', ß -J- ß' zu entwickeln. 
Es ist aber vielleicht ganz gut, auch die weiteren Gleichungen 
direkt zu verifizieren. So erhält man durch Multiplikation: 
b b a 
cos r cos . = cos r cos , cos, cossm , 
k k k k k k k 
a a a . c 
cl cl C C a ‘2i C C 
+ COS y sin y COS y sin y COS ß’ -f- COS y sin sin y COS y cos ß 
a . a c 
sm - sm r cos 2 r cos ß cos ß. 
+ Sin £ sin y COS ß COS ß‘ — om y y -wo y 
Im zweiten Gliede der rechten Seite setze man: 
a Q 
COS y sin y 
. b . . a c 
sm y cos « -j- sm y cos y cos ß 
A a . c . b . a c 
und cos . sin r = — sm , cos « + sm , cos r cos p . 
k k k k k 
Dadurch erhält man: 
b' 
b' 
b b a a , . a . a „ . . b . b 
cos T cos , = cos.-cos , +smi-sinr-cospcosp +sm. sm, 
kk kk kk kk 
cos 2 «.