Full text: Einführung in die Grundlagen der Geometrie (1. Band)

Die Clifford-Kleinschen Rauraformen. 
305 
geraden Linie liegen und wo das zweite Dreieck gewissen Be 
schränkungen unterliegt. Dadurch zeigt man allmählich, dafs die 
trigonometrischen Formeln für jedes Dreieck gelten. 
Um jetzt die Koordinatenbestimmung ganz allgemein durch 
zuführen, gehen wir wieder von einem allseitig begrenzten Gebiete 
aus, welches die angegebenen Eigenschaften besitzt. Einen Punkt 
desselben wählt man zum Anfangspunkte eines rechtwinkligen 
Koordinatensystems und bestimmt geometrisch auf dem öfters 
angegebenen Wege für die Punkte des Gebiets die Koordinaten 
x 0 , x x ...x„. So sei in diesem Bereiche ein Punkt (§0, & ...I«) 
angenommen und durch diesen Punkt und den Anfangspunkt 
eine gerade Linie gelegt. Diese Linie kann unbegrenzt verlängert 
werden, wofern man davon absieht, dafs möglicherweise die 
Gerade wieder durch einen frühem Punkt hindurchgeht. Man 
kann also auf der Geraden jede beliebige Länge 1 vom Nullpunkte 
aus erhalten. So lange die Punkte (x c , xj ...x n ) innerhalb des 
gewählten Bereiches liegen, mufs die Beziehung bestehen: 
Xi : x 2 :...: x n = : g 2 : • • •: £n* 
Wird die Länge vom Nullpunkte bis zum Punkte g mit l 
bezeichnet, so mufs, wofern die Länge l noch ganz dem gewählten 
Bereiche angehört, sein: 
. • 1 
i £‘ sm k . i 
(4) x 0 = cos , Xi— y- = k sin r sin a,, 
k / k 
sin r 
k 
wo den Winkel bezeichnet, unter dem das zunächst gewählte 
Stück der Geraden gegen die Ebene x L — 0 geneigt ist. Diese 
Beziehungen müssen aber für jede Länge 1 gelten; sie sind also 
geeignet, jedem Punkte, zu dem man durch die Verlängerung 
der geraden Linie gelangt, ein Wertsystem x 0 , Xi .., x n zuzu 
ordnen. Nur diejenigen Punkte müssen vorläufig ausgeschlossen 
werden, für welche 1 = ,uk/r bei einem ganzzahligen Werte 
von f.i ist, da infolge der Multiplikation mit null die anfangs be 
nutzten Gröfsen ...g n , resp. uy...ci n ganz ausfallen. Im 
übrigen ist durch den Wert von 1 und durch die von a x ... cc n 
ein einziger Punkt bestimmt. 
Die Werte von x„, x t ... x a können nicht beliebig gewählt 
werden. Aus der bereits bewiesenen Gleichung: 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 
20
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.