Die Clifford-Kleinschen Rauraformen.
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geraden Linie liegen und wo das zweite Dreieck gewissen Be
schränkungen unterliegt. Dadurch zeigt man allmählich, dafs die
trigonometrischen Formeln für jedes Dreieck gelten.
Um jetzt die Koordinatenbestimmung ganz allgemein durch
zuführen, gehen wir wieder von einem allseitig begrenzten Gebiete
aus, welches die angegebenen Eigenschaften besitzt. Einen Punkt
desselben wählt man zum Anfangspunkte eines rechtwinkligen
Koordinatensystems und bestimmt geometrisch auf dem öfters
angegebenen Wege für die Punkte des Gebiets die Koordinaten
x 0 , x x ...x„. So sei in diesem Bereiche ein Punkt (§0, & ...I«)
angenommen und durch diesen Punkt und den Anfangspunkt
eine gerade Linie gelegt. Diese Linie kann unbegrenzt verlängert
werden, wofern man davon absieht, dafs möglicherweise die
Gerade wieder durch einen frühem Punkt hindurchgeht. Man
kann also auf der Geraden jede beliebige Länge 1 vom Nullpunkte
aus erhalten. So lange die Punkte (x c , xj ...x n ) innerhalb des
gewählten Bereiches liegen, mufs die Beziehung bestehen:
Xi : x 2 :...: x n = : g 2 : • • •: £n*
Wird die Länge vom Nullpunkte bis zum Punkte g mit l
bezeichnet, so mufs, wofern die Länge l noch ganz dem gewählten
Bereiche angehört, sein:
. • 1
i £‘ sm k . i
(4) x 0 = cos , Xi— y- = k sin r sin a,,
k / k
sin r
k
wo den Winkel bezeichnet, unter dem das zunächst gewählte
Stück der Geraden gegen die Ebene x L — 0 geneigt ist. Diese
Beziehungen müssen aber für jede Länge 1 gelten; sie sind also
geeignet, jedem Punkte, zu dem man durch die Verlängerung
der geraden Linie gelangt, ein Wertsystem x 0 , Xi .., x n zuzu
ordnen. Nur diejenigen Punkte müssen vorläufig ausgeschlossen
werden, für welche 1 = ,uk/r bei einem ganzzahligen Werte
von f.i ist, da infolge der Multiplikation mit null die anfangs be
nutzten Gröfsen ...g n , resp. uy...ci n ganz ausfallen. Im
übrigen ist durch den Wert von 1 und durch die von a x ... cc n
ein einziger Punkt bestimmt.
Die Werte von x„, x t ... x a können nicht beliebig gewählt
werden. Aus der bereits bewiesenen Gleichung:
Killing, Grundlagen der Geometrie. I.
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