Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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k 2 cos k = k 2 cos k cos ^ -f- k 2 sin sin ^ cos (f, 
wo (f den Winkel AOB bezeichnet. Wählt man auf OA in 
hinlänglicher Nähe X von O einen Punkt g und ebenso auf OB 
in hinlänglicher Nähe X' von O einen Punkt so ist, wie wir 
früher bewiesen haben: 
, • ^ • X' 
k Sm k sm k * C0S y = + • • • + gngn'. 
Infolge der Gleichung (4) ist 
.1.1' 
sm ^ sin j- 
XkXk' = —j j, £k£k', 
sin £ sin .j- 
und somit 
k 2 sin^ sin cos (f = XjX!' -f- ... + x n x n '. 
Da zudem 
1 1' 
COS ^ = X 0 , COS g = x 0 
ist, so folgt: 
(6} k 2 cos ^ = k 2 x 0 x,) -f- x x Xj -{- XjjXn'. 
Aus dieser Betrachtung erhellt, dafs die obige Zuordnung 
der Punkte zu den Koordinatenwerten stetig ist. Nimmt man 
nämlich die Wertsysteme x 0 , x x ...x n und x 0 ', xi'...x n ', sowie 
die Längen 1 und 1' hinreichend wenig von einander verschieden 
an, so wird auch der Abstand der entsprechenden Punkte be 
liebig klein gemacht werden können. 
Ferner geht hieraus hervor, dafs die Zuordnung auch für 
die vorläufig ausgeschlossenen Werte \ = fik.n bei ganzzahligem 
jw gültig bleibt. Nimmt man nämlich die Punkte A und B so 
an, dafs 1 und 1' beide dem Werte pkrc hinlänglich nahe kommen, 
so wird der Abstand a sich beliebig klein machen lassen. Folglich 
kann der Entfernung ^k/r nur ein einziger Punkt entsprechen. 
Das System der in der angegebenen Weise bestimmten 
Gröfsen x 0 , x x . .. x n nennen wir ein Weiers,trafssches Koordinaten 
system. Ersetzen wir die gewählten Ebenen durch n andere, 
die ebenfalls auf einander senkrecht stehen, und bestimmen mit 
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