310 
Vierter Abschnitt. § 5. 
ist. Das ist an sich klar für ein verschwindendes Krümmungs- 
mafs; denn hierfür gehen die Gleichungen (4) über in: Xi = 
1 sin aj, wo «i den Winkel bezeichnet, den ein vom Nullpunkt aus 
gehendes Linienelement mit der Ebene Xi = 0 bildet. Da jetzt 
sin 2 a 1 sin 2 « n — 1 
ist, so sind durch x x ... x n die Gröfsen 1, a x ...cc n eindeutig 
bestimmt. Ebenso kann man für ein negatives k 2 den Variabein 
Xi ... x n ganz beliebige reelle Werte beilegen. Da x 0 > 1 ist, 
so folgt hieraus ein einziger Wert von x 0 und von 1, also auch 
ein einziger Punkt. Aber für ein positives k 2 mufs man die 
Variabein x!...x n so wählen, dafs der Wert des Ausdrucks 
x x 2 —J— .,. -j-x n 2 k 2 ist; dann liefert die Gleichung (5) zwei 
verschiedene Werte von x 0 , und nachdem einer von diesen 
gewählt ist, erhält man für die Länge 1 noch unendlich viele 
Werte, die sich um Vielfache von 2k?r unterscheiden. Wir können 
aber zeigen, dafs jede gerade Linie in sich zurückkehrt, wenn 
man sie um eine Strecke 2k/r verschiebt. 
Zu dem Ende bringen wir an der in I § 18, h) S. 56 durch 
geführten Betrachtung eine kleine Änderung an, die wir zunächst 
für eine zweidimensionale Ebene erläutern wollen. Von einem 
Punkte A lassen wir eine gerade Strecke AB ausgehen, deren 
Länge -|-k/'t beträgt. Ein Körper möge in der Ruhelage den 
Punkt A, ein anderer den Punkt B enthalten; wir verbinden die 
beiden Körper durch eine Reihe von Körpern, die zu zweien 
zusammenhangen und von denen jeder ein Stück der Geraden 
AB einschliefst. In A errichten wir auf der Ebene die Senkrechte 
und drehen den ersten Körper um diese Gerade. Dadurch wird 
für den durch B gehenden Körper eine Bewegung vermittelt, bei 
der der Punkt B eine Gerade beschreibt. Diese Gerade wird in 
sich verschoben, und wenn man den ersten Körper eine Drehung 
von der Gröfse (f machen läfst, so beschreibt jeder Punkt der 
durch B gehenden Geraden eine Strecke von der Gröfse -J-kge 
Erreicht die Drehung um die in A errichtete Senkrechte die 
Gröfse 2n (ist eine volle Umdrehung erfolgt), so gelangt jeder 
Teil des ersten Körpers in seine Anfangslage; folglich mufs auch 
jeder vermittelnde Körper wieder die Anfangslage decken; somit 
wird auch jeder Punkt der von B beschriebenen Geraden wieder 
in seine Anfangslage zurückkehren. Dabei hat aber jeder Punkt